Funkcja jest parzysta, gdy

f(−x) = f(x) dla każdego x z dziedziny

Symetrie wykresów i wykresy z wartością bezwzględną

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Funkcjeklasa 1 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/1/matematyka/symetrie-wykresow-i-wykresy-z-wartoscia-bezwzgledna/

Z jednego wykresu da się zrobić kilka nowych, jeśli odbijesz jego fragmenty. Zobacz, jak kreski wartości bezwzględnej zmieniają wykres i jak z nich policzyć rozwiązania równania.

1Wartość bezwzględna z funkcji

Dla y = |x² − 4| ujemne wyniki paraboli zmieniają się w dodatnie.

W y = |f(x)| kreski obejmują wynik funkcji. Część wykresu pod osią OX odbijasz do góry, a część nad osią zostawiasz. Wszystkie wyniki są nieujemne.
Przykład: y = |x² − 4|. Parabola y = x² − 4 ma miejsca zerowe −⁠2 i 2, a między nimi leży pod osią. Po odbiciu tworzy „górkę” o wysokości 4.

2Ile rozwiązań ma |x² − 4| = m

Literą m oznaczamy poziom: rysujesz poziomą prostą y = m i liczysz jej punkty wspólne z wykresem y = |x² − 4|.

m	liczba rozwiązań
m < 0	0
m = 0	2
0 < m < 4	4
m = 4	3
m > 4	2

Przykład. Dane: |x² − 4| = 3, czyli m = 3.
Zdejmij kreski: x² − 4 = 3 lub x² − 4 = −⁠3.
Obliczenia: x² = 7 lub x² = 1, więc x = ±pierwiastek z 7 lub x = ±1.
Odpowiedź: 4 rozwiązania, zgodnie z tabelą (0 < m < 4).
Dla m = 4 prosta dotyka szczytu „górki” (x = 0) i przecina ramiona w x = ±2pierwiastek z 2, razem trzy punkty.

Sprawdź, czy rozumiesz

Wykres y = |f(x)| powstaje z wykresu y = f(x) przez

3Inne przekształcenia (dodatek)

Odbicia: y = −⁠f(x) to odbicie względem OX (wynik zmienia znak), a y = f(−⁠x) względem OY (zmienia się argument). Obie naraz dają odbicie względem początku układu.

Sprawdź, która współrzędna punktu zmienia znak przy każdym odbiciu.

y = f(|x|): zostawiasz prawą część wykresu (x ≥ 0) i odbijasz ją na lewą stronę.
Funkcja jest parzysta, gdy f(−⁠x) = f(x) (symetria względem OY, np. x²), a nieparzysta, gdy f(−⁠x) = −⁠f(x) (symetria względem początku, np. x³ lub 1 przez x). W obu przypadkach dziedzina musi być symetryczna.

Uwaga na błąd

Pomylenie |f(x)| z f(|x|). Pierwsze zmienia wyniki, więc odbija fragment pod osią OX. Drugie zmienia argumenty, więc kopiuje prawą połowę na lewą.

✎Ściąga: Symetrie wykresów i wykresy z wartością bezwzględną

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

Odbicia: y = −⁠f(x) to odbicie względem OX (wynik zmienia znak), a y = f(−⁠x) względem OY (zmienia się argument). Obie naraz dają odbicie względem początku układu.
y = f(|x|): zostawiasz prawą część wykresu (x ≥ 0) i odbijasz ją na lewą stronę.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

Wykres y = |f(x)| powstaje z wykresu y = f(x) przez
1. Aprzesunięcie w górę
2. Bodbicie do góry części leżącej pod osią OX
3. Codbicie względem osi OY
4. Dodbicie względem początku układu
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: odbicie do góry części leżącej pod osią OX – Wartość bezwzględna zmienia ujemne wyniki na dodatnie.
Ile rozwiązań ma równanie |x² − 4| = 5?
1. A0
2. B4
3. C3
4. D2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 2 – Dla m > 4 prosta y = 5 przecina wykres tylko w dwóch punktach (x = ±3).
Ile rozwiązań ma równanie |x² − 4| = 3?
1. A2
2. B3
3. C4
4. D0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 4 – Dla 0 < m < 4 prosta przecina dwie gałęzie i „górkę”: x² = 7 lub x² = 1, czyli 4 rozwiązania.
Ile rozwiązań ma równanie |x² − 4| = 4?
1. A1
2. B4
3. C3
4. D2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 3 – x² − 4 = 4 daje x = ±2pierwiastek z 2, a x² − 4 = −⁠4 daje x = 0, razem 3 rozwiązania.
Ile rozwiązań ma równanie |x² − 4| = −⁠1?
1. A0
2. B4
3. C2
4. D1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 0 – Wartość bezwzględna nie jest ujemna.
Wykres y = −⁠f(x) to wykres y = f(x) odbity względem
1. Apoczątku układu
2. Bosi OY
3. Cprostej y = x
4. Dosi OX
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: osi OX – Zmiana znaku wyniku odbija wykres względem osi OX.
Funkcja jest parzysta, gdy
1. Af(x) > 0
2. Bf(−⁠x) = f(x) dla każdego x z dziedziny
3. Cf(0) = 0
4. Df(−⁠x) = −⁠f(x)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: f(−⁠x) = f(x) dla każdego x z dziedziny – Wykres jest wtedy symetryczny względem osi OY, np. dla f(x) = x².
Funkcja f(x) = 1 przez x jest
1. Aparzysta
2. Bnieparzysta
3. Cani parzysta, ani nieparzysta
4. Dstała
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: nieparzysta – f(−⁠x) = −⁠1 przez x = −⁠f(x), a dziedzina ℝ \ {0} jest symetryczna.

Cały dział „Funkcje”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytań Fiszki · 9 🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 1

Zbiory liczbowe i rozwinięcia dziesiętne Pierwiastki i działania na pierwiastkach Potęgi, wykładnik wymierny i notacja wykładnicza Podzielność, liczby pierwsze i dowody na liczbach całkowitych Logarytmy Procenty i punkty procentowe Logarytmy: zmiana podstawy i równania Zbiory, przedziały i nierówności liniowe Wyrażenia algebraiczne i wzory skróconego mnożenia Równania liniowe, iloczynowe i przekształcanie wzorów Wartość bezwzględna Wzory skróconego mnożenia stopnia 3 i dowody algebraiczne Równania i nierówności z wartością bezwzględną Układy równań liniowych Układy równań i funkcja liniowa z parametrem Funkcja i jej własności Przesuwanie wykresów i proporcjonalność odwrotna Funkcja liniowa Funkcja kwadratowa Funkcje wykładnicza i logarytmiczna Złożenie funkcji i monotoniczność z definicji Kąty i trójkąty przystające Twierdzenie Pitagorasa i rodzaje trójkątów Czworokąty, wielokąty foremne i pola figur Twierdzenie Talesa i podobieństwo Wektory na płaszczyźnie Trygonometria