ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Planimetriaklasa 1 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/1/matematyka/twierdzenie-talesa-i-podobienstwo/

Matematyka · Planimetria · kl. 1

Twierdzenie Talesa i podobieństwo

Tales pozwala zmierzyć drzewo patykiem i cieniem. Zobacz, kiedy odcinki są proporcjonalne, kiedy trójkąty są podobne i dlaczego pole rośnie szybciej niż obwód.

ok. 2 min czytania9 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Twierdzenie Talesa

OABCD|OA||AB||OC||CD|AC ∥ BD
O – wierzchołek kąta; A, B leżą na jednym ramieniu, C, D na drugim; proste AC i BD są równoległe.
  • Jeśli proste równoległe przecinają ramiona kąta, to odcinki na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim. Zapis |OA| oznacza długość odcinka OA.
Zapamiętaj

|OA| przez |AB| = |OC| przez |CD| oraz |OA| przez |OB| = |OC| przez |OD|. Pilnuj tej samej kolejności odpowiadających odcinków.

  • Dane: |OA| = 4, |AB| = 6, |OC| = 6, AC ∥ BD.
  • Wzór: |OA| przez |AB| = |OC| przez |CD|.
  • Obliczenia: 4 przez 6 = 6 przez |CD|, więc |CD| = 6 · 6 przez 4 = 9.
  • Odpowiedź: |CD| = 9 (w tej samej jednostce).
  • Cień: patyk 1,5 m daje cień 2 m, a drzewo cień 12 m. Z podobieństwa h przez 12 = 1,5 przez 2, więc h = 9 m.
  • Na rozszerzeniu działa też twierdzenie odwrotne: z proporcji odcinków wynika równoległość prostych.

2Figury podobne

  • Figury podobne mają równe odpowiednie kąty, a długości w stałym stosunku. k to skala podobieństwa: stosunek długości w drugiej figurze do długości w pierwszej.
CechaCo sprawdzasz
bbbtrzy pary boków proporcjonalne
bkbdwie pary boków proporcjonalne i równy kąt między nimi
kkkdwie pary równych kątów wystarczą
Sprawdź, czy rozumiesz

Które warunki wystarczą do podobieństwa trójkątów?

3Pola i obwody

4358610k = 2
Przy skali 2 każda długość rośnie dwa razy, a pole cztery razy.
Zapamiętaj

L₂ = k · L₁ oraz P₂ = k² · P₁. L₁, L₂ to obwody, P₁, P₂ to pola pierwszej i drugiej figury.

  • Dane: P₂ : P₁ = 16 : 25. Obliczenia: k = pierwiastek z 16 przez 25 = 4 przez 5. Odpowiedź: boki są w stosunku 4 : 5.
Uwaga na błąd

Przy skali k = 3 pole rośnie 9 razy, a nie 3. Zmieniają się dwa wymiary figury.

✎Ściąga: Twierdzenie Talesa i podobieństwo

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • |OA| przez |AB| = |OC| przez |CD| oraz |OA| przez |OB| = |OC| przez |OD|. Pilnuj tej samej kolejności odpowiadających odcinków.
  • L₂ = k · L₁ oraz P₂ = k² · P₁. L₁, L₂ to obwody, P₁, P₂ to pola pierwszej i drugiej figury.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Na ramionach kąta o wierzchołku O: |OA| = 4, |AB| = 6, |OC| = 6, a AC ∥ BD. Długość |CD| wynosi

    1. A6
    2. B9
    3. C2,5
    4. D4
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 9 – 4 przez 6 = 6 przez |CD|, więc |CD| = 9.

  2. Patyk 1,5 m rzuca cień 2 m. W tej samej chwili drzewo rzuca cień 12 m. Wysokość drzewa to

    1. A6 m
    2. B16 m
    3. C18 m
    4. D9 m
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 9 m – h przez 12 = 1,5 przez 2, więc h = 9.

  3. Trójkąty podobne mają skalę k = 3. Ich pola są w stosunku

    1. A1 : 9
    2. B1 : 3
    3. C1 : 6
    4. D1 : 27
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 1 : 9 – Pola zmieniają się k² razy, czyli 9 razy.

  4. Skala podobieństwa to 2. Obwód mniejszej figury wynosi 10 cm. Obwód większej wynosi

    1. A40 cm
    2. B12 cm
    3. C5 cm
    4. D20 cm
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 20 cm – Obwód rośnie k razy.

  5. Stosunek pól figur podobnych to 16 : 25. Skala podobieństwa wynosi

    1. A8 przez 5
    2. B16 przez 25
    3. C4 przez 5
    4. D2 przez 5
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 4 przez 5 – k = pierwiastek z 16 przez 25 = 4 przez 5.

  6. Które warunki wystarczą do podobieństwa trójkątów?

    1. Ajedna para równych kątów
    2. Brówne obwody
    3. Crówne pola
    4. Ddwie pary równych kątów
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: dwie pary równych kątów – Dwa równe kąty wymuszają trzeci, więc to cecha kkk.

  7. Trójkąt o bokach 3, 4, 5 i trójkąt o bokach 6, 8, 10 są

    1. Apodobne w skali 2
    2. Bprzystające
    3. Cpodobne w skali 3
    4. Dniepodobne
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: podobne w skali 2 – Wszystkie boki są pomnożone przez 2 (cecha bbb), a nie są równe.

  8. Prostokąt rośnie w skali 3. Pole prostokąta zwiększa się

    1. A3 razy
    2. B6 razy
    3. C9 razy
    4. D27 razy
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 9 razy – Zmieniają się oba wymiary: 3 · 3 = 9.

Cały dział „Planimetria”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 9🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 1

Zbiory liczbowe i rozwinięcia dziesiętnePierwiastki i działania na pierwiastkachPotęgi, wykładnik wymierny i notacja wykładniczaPodzielność, liczby pierwsze i dowody na liczbach całkowitychLogarytmyProcenty i punkty procentoweLogarytmy: zmiana podstawy i równaniaZbiory, przedziały i nierówności linioweWyrażenia algebraiczne i wzory skróconego mnożeniaRównania liniowe, iloczynowe i przekształcanie wzorówWartość bezwzględnaWzory skróconego mnożenia stopnia 3 i dowody algebraiczneRównania i nierówności z wartością bezwzględnąUkłady równań liniowychUkłady równań i funkcja liniowa z parametremFunkcja i jej własnościPrzesuwanie wykresów i proporcjonalność odwrotnaFunkcja liniowaFunkcja kwadratowaFunkcje wykładnicza i logarytmicznaSymetrie wykresów i wykresy z wartością bezwzględnąZłożenie funkcji i monotoniczność z definicjiKąty i trójkąty przystająceTwierdzenie Pitagorasa i rodzaje trójkątówCzworokąty, wielokąty foremne i pola figurWektory na płaszczyźnieTrygonometria