1Czym jest wektor
- Wektor AB to odcinek skierowany: A to jego początek, B koniec. Ma długość |AB|, kierunek (prostą, na której leży) i zwrot (w którą stronę wskazuje strzałka).
- Wektory są równe, gdy mają tę samą długość, kierunek i zwrot. Dla punktów A, B, C, D, które nie leżą na jednej prostej: wektor AB = wektor DC wtedy i tylko wtedy, gdy ABCD jest równoległobokiem.
- Wektor przeciwny do AB to BA = −AB: ta sama długość i kierunek, przeciwny zwrot.
2Współrzędne i długość
Dla A(xA, yA) i B(xB, yB): wektor AB = [xB − xA, yB − yA], a jego długość |AB| = pierwiastek z (xB − xA)² + (yB − yA)².
- Dla wektora u = [u₁, u₂] długość to |u| = pierwiastek z u₁² + u₂². Liczby u₁ i u₂ to przesunięcie w poziomie i w pionie.
- Przykład. Dane: A(1, 2), B(4, 6).
- Współrzędne: wektor AB = [4 − 1, 6 − 2] = [3, 4].
- Długość: |AB| = pierwiastek z 3² + 4² = pierwiastek z 25 = 5.
- Odpowiedź: wektor AB = [3, 4], jego długość to 5.
Punkt A(1, 2) przesunięto o wektor [3, −4]. Jego obraz to
Do współrzędnych punktu dodajemy współrzędne wektora: (1 + 3, 2 − 4) = (4, −2).
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Działania na wektorach
Dla u = [u₁, u₂], v = [v₁, v₂] i liczby k: u + v = [u₁ + v₁, u₂ + v₂], u − v = [u₁ − v₁, u₂ − v₂], k · u = [k · u₁, k · u₂].
- Reguła trójkąta: AB + BC = AC. Reguła równoległoboku: suma dwóch wektorów zaczepionych w jednym punkcie to przekątna równoległoboku zbudowanego na tych wektorach.
- Mnożenie przez k zmienia długość |k| razy. Dla k < 0 zmienia się też zwrot: 2 · [3, −1] = [6, −2], a −1 · [3, −1] = [−3, 1].
- Niezerowe wektory u i v są równoległe, gdy v = k · u dla pewnej liczby k, czyli gdy u₁v₂ − u₂v₁ = 0. Np. [2, 3] ∥ [4, 6], bo 2 · 6 − 3 · 4 = 0.
4Przesunięcie o wektor
- Przesunięcie o wektor [p, q] przenosi punkt (x, y) do punktu (x + p, y + q). Np. A(1, 2) po przesunięciu o [3, −4] trafia do (4, −2).
- Wykres y = f(x) przesunięty o [p, q] to wykres y = f(x − p) + q (zob. temat o przesuwaniu wykresów).
Odejmowanie w złej kolejności. Wektor AB to „koniec minus początek”: [xB − xA, yB − yA]. Odwrotna kolejność daje wektor przeciwny BA.
Wektor −2 · u (u ≠ 0) w porównaniu z wektorem u ma
Mnożenie przez −2 zmienia długość |−2| = 2 razy, a ujemny znak odwraca zwrot.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Wektory na płaszczyźnie
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Dla A(xA, yA) i B(xB, yB): wektor AB = [xB − xA, yB − yA], a jego długość |AB| = pierwiastek z (xB − xA)² + (yB − yA)².
- Dla u = [u₁, u₂], v = [v₁, v₂] i liczby k: u + v = [u₁ + v₁, u₂ + v₂], u − v = [u₁ − v₁, u₂ − v₂], k · u = [k · u₁, k · u₂].
- Wektor AB to odcinek skierowany: A to jego początek, B koniec. Ma długość |AB|, kierunek (prostą, na której leży) i zwrot (w którą stronę wskazuje strzałka).
- Wektor przeciwny do AB to BA = −AB: ta sama długość i kierunek, przeciwny zwrot.
- Reguła trójkąta: AB + BC = AC. Reguła równoległoboku: suma dwóch wektorów zaczepionych w jednym punkcie to przekątna równoległoboku zbudowanego na tych wektorach.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Wektor AB dla A(2, −1) i B(5, 3) ma współrzędne
- A[3, 4]
- B[7, 2]
- C[−3, −4]
- D[3, 2]
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: [3, 4] – Koniec minus początek: [5 − 2, 3 − (−1)] = [3, 4].
Długość wektora [−6, 8] wynosi
- A2
- B14
- C100
- D10
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 10 – pierwiastek z (−6)² + 8² = pierwiastek z 36 + 64 = pierwiastek z 100 = 10.
Dla u = [2, −1] i v = [−3, 4] wektor u + v to
- A[−1, −5]
- B[−1, 3]
- C[5, −5]
- D[−6, −4]
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: [−1, 3] – Dodajemy odpowiednie współrzędne: [2 + (−3), −1 + 4] = [−1, 3].
Wektor 3 · [2, −1] − [1, 4] jest równy
- A[6, −7]
- B[5, −7]
- C[5, 1]
- D[7, −7]
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: [5, −7] – 3 · [2, −1] = [6, −3], a [6, −3] − [1, 4] = [5, −7].
Które wektory są równoległe?
- A[2, 3] i [4, 5]
- B[2, 3] i [−3, 2]
- C[2, 3] i [3, 2]
- D[2, 3] i [−4, −6]
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: [2, 3] i [−4, −6] – [−4, −6] = −2 · [2, 3], więc wektory są równoległe (mają przeciwne zwroty).
Punkt A(1, 2) przesunięto o wektor [3, −4]. Jego obraz to
- A(4, −2)
- B(4, 6)
- C(−2, 6)
- D(3, −8)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: (4, −2) – Do współrzędnych punktu dodajemy współrzędne wektora: (1 + 3, 2 − 4) = (4, −2).
Czworokąt ABCD jest równoległobokiem, A(0, 0), B(4, 1), C(5, 4). Wierzchołek D ma współrzędne
- A(3, 1)
- B(9, 5)
- C(1, 3)
- D(−1, −3)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: (1, 3) – Wektor AB = wektor DC: [4, 1] = [5 − x, 4 − y], więc x = 1, y = 3.
Wektor −2 · u (u ≠ 0) w porównaniu z wektorem u ma
- Atę samą długość i przeciwny zwrot
- Bdwa razy większą długość i przeciwny zwrot
- Cdwa razy mniejszą długość i ten sam zwrot
- Ddwa razy większą długość i ten sam zwrot
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: dwa razy większą długość i przeciwny zwrot – Mnożenie przez −2 zmienia długość |−2| = 2 razy, a ujemny znak odwraca zwrot.
Cały dział „Planimetria”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.