1Przesuwanie wykresu
- W zapisie y = f(x − p) + q litera f to funkcja wyjściowa, a p i q to przesunięcia: p poziomo, q pionowo. Para [p, q] to wektor przesunięcia.
| Nowy wzór | Co robisz z wykresem y = f(x) |
|---|---|
| y = f(x) + q | w górę o q (dla q < 0 w dół) |
| y = f(x − p) | w prawo o p (dla p < 0 w lewo) |
| y = f(x − p) + q | każdy punkt o wektor [p, q] |
- Czemu f(x − 3) idzie w prawo? Żeby do funkcji trafiła dawna wartość argumentu 0, musisz teraz wstawić x = 3. Punkt, który był nad zerem, jest teraz nad trójką.
- Przykład: y = (x − 2)² + 3 to parabola y = x² przesunięta o 2 w prawo i 3 w górę. Wierzchołek (0, 0) trafia do (2, 3).
- A y = (x + 3)² − 1 to przesunięcie o wektor [−3, −1]: 3 w lewo i 1 w dół.
Wykres y = (x − 3)² + 1 powstaje z paraboli y = x² przez przesunięcie o wektor
Nawias zeruje się dla x = 3 (3 w prawo), a +1 to 1 w górę.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
2Odwrotna proporcjonalność
- Gdy iloczyn dwóch wielkości jest stały, mówimy o odwrotnej proporcjonalności: x · y = a, czyli y = a przez x. Liczba a ≠ 0 to ten stały iloczyn. Nie wolno wstawić x = 0.
- Przykład. Dane: droga s = 120 km, prędkość v (km/h), czas t (h).
- Wzór: v · t = 120, czyli t = 120 przez v.
- Obliczenia: dla v = 60 jest t = 2, dla v = 80 jest t = 1,5.
- Odpowiedź: im szybciej jedziesz, tym krócej jedziesz, a iloczyn v · t zawsze wynosi 120 km.
- Wykres to hiperbola. Dziedzina i zbiór wartości to ℝ \ {0}.
- Dla a > 0 gałęzie leżą w I i III ćwiartce, a funkcja maleje w każdym z przedziałów (−∞, 0) i (0, +∞). Dla a < 0 gałęzie są w II i IV ćwiartce, a funkcja rośnie w każdym z tych przedziałów.
- Nie jest monotoniczna w całej dziedzinie. Wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
Odczytanie y = (x − 2)² jako przesunięcia w lewo, bo „jest minus”. Sprawdź, jaki x zeruje nawias: x = 2, więc w prawo. Drugi błąd to powiedzenie, że hiperbola maleje na całej dziedzinie. Maleje osobno na każdej gałęzi.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Wykres y = (x − 3)² + 1 powstaje z paraboli y = x² przez przesunięcie o wektor
- A[−3, 1]
- B[3, −1]
- C[3, 1]
- D[1, 3]
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: [3, 1] – Nawias zeruje się dla x = 3 (3 w prawo), a +1 to 1 w górę.
Wykres y = f(x + 2) powstaje z wykresu y = f(x) przez przesunięcie
- Ao 2 w lewo
- Bo 2 w dół
- Co 2 w prawo
- Do 2 w górę
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: o 2 w lewo – f(x + 2) = f(x − (−2)), więc p = −2, czyli w lewo.
Wierzchołek paraboli y = (x + 1)² − 2 ma współrzędne
- A(1, 2)
- B(−1, −2)
- C(1, −2)
- D(−1, 2)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: (−1, −2) – W postaci y = (x − p)² + q mamy p = −1 i q = −2.
Wykres y = f(x) − 4 jest wykresem y = f(x) przesuniętym
- Ao 4 w lewo
- Bo 4 w dół
- Co 4 w górę
- Do 4 w prawo
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: o 4 w dół – Zmiana poza nawiasem działa pionowo, a minus oznacza w dół.
Dziedziną funkcji y = 3 przez x jest
- A⟨0, +∞)
- Bℝ \ {3}
- Cℝ \ {0}
- Dℝ
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: ℝ \ {0} – Nie dzielimy przez zero, więc wykluczamy x = 0.
Funkcja y = 4 przez x
- Amaleje w każdym z przedziałów (−∞, 0) i (0, +∞)
- Bmaleje w całej dziedzinie
- Cjest stała
- Drośnie w przedziale (−∞, 0)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: maleje w każdym z przedziałów (−∞, 0) i (0, +∞) – Dla a > 0 funkcja maleje osobno na każdej gałęzi. W całej dziedzinie nie jest monotoniczna.
Wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne, gdy
- Ay przez x jest stałe
- Bx · y jest stałe
- Cy = x + a
- Dx + y jest stałe
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: x · y jest stałe – Odwrotna proporcjonalność to y = a przez x, czyli x · y = a.
Samochód jedzie 120 km ze stałą prędkością 80 km/h. Przejazd trwa
- A1 h
- B2 przez 3 h
- C2 h
- D1,5 h
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 1,5 h – t = s przez v = 120 przez 80 = 1,5 godziny (a nie 80 przez 120).
Cały dział „Funkcje”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.