1Metoda podstawiania
- W układzie x i y to dwie szukane liczby, które mają spełniać oba równania naraz.
- Dane: 2x + y = 5 oraz y = x − 1. Drugie równanie już mówi, ile wynosi y, więc wstaw je do pierwszego.
- Obliczenia: 2x + (x − 1) = 5, czyli 3x = 6 i x = 2. Wtedy y = 2 − 1 = 1.
- Odpowiedź: (x, y) = (2, 1).
2Metoda przeciwnych współczynników
- Chcesz, żeby jedna niewiadoma zniknęła po dodaniu równań. W razie potrzeby pomnóż całe równanie przez liczbę.
- Dane: 3x + 2y = 70 oraz x + 4y = 40. Drugie razy 3: 3x + 12y = 120.
- Odejmij stronami od tego pierwsze: 10y = 50, więc y = 5. Z drugiego równania x = 40 − 20 = 20.
- Sprawdź w obu: 3 · 20 + 2 · 5 = 70 oraz 20 + 4 · 5 = 40.
Aby w układzie 3x + 2y = 70 i x + 4y = 40 pozbyć się x, można
Po pomnożeniu drugiego przez 3 współczynnik przy x się wyrównuje.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Co widać na wykresie
- Każde równanie opisuje prostą, a rozwiązanie to punkt wspólny obu prostych.
| Układ | Proste | Rozwiązań |
|---|---|---|
| oznaczony | przecinają się w jednym punkcie | jedno |
| sprzeczny | równoległe, różne | zero |
| nieoznaczony | pokrywają się | nieskończenie wiele |
- Np. x + y = 2 i x + y = 5 to układ sprzeczny: ta sama suma nie może wynosić 2 i 5. Z kolei x + y = 2 i 2x + 2y = 4 to jedna prosta zapisana dwa razy.
4Zadanie tekstowe
- Treść: 3 bilety normalne i 2 ulgowe kosztują 70 zł, a 1 normalny i 4 ulgowe 40 zł.
- Niewiadome: x to cena biletu normalnego, y ulgowego (w zł).
- Równania: 3x + 2y = 70 oraz x + 4y = 40, czyli układ z góry.
- Odpowiedź: normalny 20 zł, ulgowy 5 zł (ceny dodatnie, więc pasują do treści).
Podanie samego x i zapomnienie o y. Rozwiązaniem układu jest para liczb, którą musisz sprawdzić w obu równaniach.
Układ oznaczony na wykresie to dwie proste, które
Jeden punkt wspólny to jedno rozwiązanie.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Rozwiązaniem układu x + y = 7 i x − y = 1 jest
- A(8, 1)
- B(4, 3)
- C(3, 4)
- D(6, 1)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: (4, 3) – Po dodaniu równań 2x = 8, więc x = 4, a y = 3.
Układ y = x − 1 i 2x + y = 5 ma rozwiązanie
- A(2, 1)
- B(2, 3)
- C(1, 2)
- D(6, 5)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: (2, 1) – 2x + x − 1 = 5, więc x = 2 i y = 1.
Układ x + y = 2 i x + y = 5 jest
- Asprzeczny
- Boznaczony
- Cnieoznaczony
- Dspełniony przez (2, 5)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: sprzeczny – Ta sama suma nie może być równa 2 i 5. Proste są równoległe.
Układ x + y = 2 i 2x + 2y = 4 jest
- Ama rozwiązanie (2, 2)
- Boznaczony
- Csprzeczny
- Dnieoznaczony
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: nieoznaczony – Drugie równanie to pierwsze pomnożone przez 2. Obie proste się pokrywają.
Układ oznaczony na wykresie to dwie proste, które
- Aprzecinają się w jednym punkcie
- Bpokrywają się
- Csą równoległe
- Dprzecinają się w dwóch punktach
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: przecinają się w jednym punkcie – Jeden punkt wspólny to jedno rozwiązanie.
3 bilety normalne i 2 ulgowe kosztują 70 zł, a 1 normalny i 4 ulgowe 40 zł. Bilet ulgowy kosztuje
- A20 zł
- B5 zł
- C8 zł
- D10 zł
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 5 zł – Z układu 3x + 2y = 70, x + 4y = 40 wychodzi y = 5 i x = 20.
Aby w układzie 3x + 2y = 70 i x + 4y = 40 pozbyć się x, można
- Adodać oba równania
- Bpomnożyć drugie równanie przez 3 i odjąć
- Cpodzielić pierwsze przez x
- Dpomnożyć drugie przez 2 i dodać
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: pomnożyć drugie równanie przez 3 i odjąć – Po pomnożeniu drugiego przez 3 współczynnik przy x się wyrównuje.
Który zapis jest pełnym rozwiązaniem układu równań z niewiadomymi x i y?
- Ay = 3
- Bx = 4
- C(x, y) = (4, 3)
- Dx + y = 7
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: (x, y) = (4, 3) – Rozwiązaniem jest para liczb spełniająca oba równania.
Cały dział „Układy równań”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.