1Rozwijanie i zwijanie nawiasów
- Nawias mnożysz przez jednomian, mnożąc każdy składnik: 3x(2x − 5) = 6x² − 15x.
- W drugą stronę to wyłączanie wspólnego czynnika: 4x² − 8x = 4x(x − 2), bo 4x jest w obu składnikach.
- Dwa nawiasy: każdy składnik pierwszego razy każdy z drugiego. (2x − 1)(x² + x − 3) = 2x³ + 2x² − 6x − x² − x + 3 = 2x³ + x² − 7x + 3.
2Trzy wzory, które skracają rachunki
- Litery a i b to liczby albo całe wyrażenia, które wstawiasz do wzoru. Zapis 2ab to 2 · a · b.
(a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; a² − b² = (a − b)(a + b).
- Przykład. Dane: (2x − 3)².
- Wzór: (a − b)² = a² − 2ab + b², gdzie a = 2x, b = 3.
- Obliczenia: (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3².
- Odpowiedź: 4x² − 12x + 9.
- (pierwiastek z 5 − 1)(pierwiastek z 5 + 1) = 5 − 1 = 4.
- Rachunki w pamięci: 99² = (100 − 1)² = 9801, a 101 · 99 = 100² − 1 = 9999.
Wyrażenie 4x² − 8x po wyłączeniu wspólnego czynnika to
4x jest w obu składnikach; 8x : 4x = 2.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Wzory od prawej do lewej
- Rozkład na czynniki: x² − 49 = (x − 7)(x + 7), x² + 6x + 9 = (x + 3)².
- Przekształcanie wzorów: z P = (a + b) · h przez 2 wyznaczasz b. Mnożysz przez 2: 2P = (a + b)h. Dzielisz przez h: 2P przez h = a + b. Stąd b = 2P przez h − a.
4Dowód z literą
- Rozwijając (n + 1)² − (n − 1)², dostajesz (n² + 2n + 1) − (n² − 2n + 1) = 4n. Działa to dla każdego n, a nie tylko dla kilku przykładów.
- Nierówność a² + b² ≥ 2ab wynika z (a − b)² ≥ 0, bo kwadrat nigdy nie jest ujemny.
(a + b)² = a² + b²
Brakuje 2ab, czyli dwóch prostokątów z rysunku. Przy (2x − 3)² kwadrat obejmuje całe 2x: (2x)² = 4x², a nie 2x².
Iloczyn (2x − 1)(x² + x − 3) jest równy
Każdy wyraz pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy wyraz drugiego: 2x³ + 2x² − 6x − x² − x + 3 = 2x³ + x² − 7x + 3.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Wyrażenia algebraiczne i wzory skróconego mnożenia
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; a² − b² = (a − b)(a + b).
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Po rozwinięciu (x + 4)² otrzymujemy
- Ax² + 8x + 4
- Bx² + 16
- Cx² + 4x + 16
- Dx² + 8x + 16
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: x² + 8x + 16 – (a + b)² = a² + 2ab + b², czyli x² + 2 · x · 4 + 16.
Po rozwinięciu (2x − 3)² otrzymujemy
- A2x² − 12x + 9
- B4x² + 9
- C4x² − 6x + 9
- D4x² − 12x + 9
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 4x² − 12x + 9 – (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² − 12x + 9.
Wyrażenie x² − 49 jest równe
- A(x + 7)²
- B(x − 7)²
- C(x − 7)(x + 7)
- D(x − 49)(x + 1)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: (x − 7)(x + 7) – Różnica kwadratów: a² − b² = (a − b)(a + b), a = x, b = 7.
Wartość 99² można policzyć jako
- A100² − 2 = 9998
- B100² − 1 = 9999
- C(100 − 1)² = 9801
- D(100 − 1) · 2 = 198
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: (100 − 1)² = 9801 – Z (a − b)²: 10 000 − 200 + 1 = 9801.
Wyrażenie 4x² − 8x po wyłączeniu wspólnego czynnika to
- A4(x² − 2x²)
- Bx(4x − 2)
- C4x(x − 8)
- D4x(x − 2)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 4x(x − 2) – 4x jest w obu składnikach; 8x : 4x = 2.
Iloczyn (2x − 1)(x² + x − 3) jest równy
- A2x³ + 2x² − 6x − 1
- B2x³ + x² − 5x + 3
- C2x³ − x² − 7x + 3
- D2x³ + x² − 7x + 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 2x³ + x² − 7x + 3 – Każdy wyraz pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy wyraz drugiego: 2x³ + 2x² − 6x − x² − x + 3 = 2x³ + x² − 7x + 3.
Wartość (n + 1)² − (n − 1)² wynosi
- A4
- B4n
- C2n²
- D2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 4n – (n² + 2n + 1) − (n² − 2n + 1) = 4n.
Wartość (pierwiastek z 5 − 1)(pierwiastek z 5 + 1) wynosi
- A4
- B6
- C0
- D5 − 2pierwiastek z 5
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 4 – Różnica kwadratów: (pierwiastek z 5)² − 1² = 5 − 1 = 4.
Cały dział „Język matematyki”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.