1Złożenie funkcji
(g∘f)(x) = g(f(x)). Najpierw działa f, potem g. Dziedzina to te x z dziedziny f, dla których f(x) należy do dziedziny g.
- Dane: f(x) = 2x + 1, g(x) = x². Obliczenia: (g∘f)(x) = (2x + 1)², a (f∘g)(x) = 2x² + 1. Kolejność ma znaczenie.
- Dla x = 2: f(2) = 5, g(5) = 25.
- Dane: f(x) = x − 3, g(x) = pierwiastek z x. Wtedy (g∘f)(x) = pierwiastek z x − 3 i dziedzina to ⟨3, +∞), bo f(x) = x − 3 musi być ≥ 0.
Dla f(x) = 2x + 1 i g(x) = x² funkcja (g∘f)(x) wynosi
(g∘f)(x) = g(f(x)) = (2x + 1)².
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
2Monotoniczność z definicji
- Aby wykazać, że f rośnie w przedziale, bierzesz dowolne x₁ < x₂ z tego przedziału i badasz znak różnicy f(x₂) − f(x₁). Jeśli jest dodatnia, funkcja rośnie, a jeśli ujemna, maleje.
- Dane: f(x) = 3x − 2. Obliczenia: f(x₂) − f(x₁) = 3(x₂ − x₁) > 0. Odpowiedź: funkcja rośnie.
- Dane: f(x) = 1 przez x w przedziale (0, +∞); bierzemy dowolne 0 < x₁ < x₂.
- Różnica: f(x₂) − f(x₁) = 1 przez x₂ − 1 przez x₁ = x₁ − x₂ przez x₁x₂.
- Znak: licznik x₁ − x₂ < 0, mianownik x₁x₂ > 0, więc różnica jest ujemna.
- Odpowiedź: f maleje w przedziale (0, +∞).
- Dane: f(x) = x² w przedziale ⟨0, +∞). Obliczenia: x₂² − x₁² = (x₂ − x₁)(x₂ + x₁) > 0. Odpowiedź: funkcja rośnie.
Sprawdzenie dwóch wartości i wniosek o monotoniczności. Definicja wymaga dowolnych x₁ < x₂ z przedziału. Drugi błąd to pomylenie g∘f z f∘g.
✎Ściąga: Złożenie funkcji i monotoniczność z definicji
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- (g∘f)(x) = g(f(x)). Najpierw działa f, potem g. Dziedzina to te x z dziedziny f, dla których f(x) należy do dziedziny g.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Dla f(x) = 2x + 1 i g(x) = x² funkcja (g∘f)(x) wynosi
- A2x + 1 + x²
- B2x² + 1
- C4x² + 1
- D(2x + 1)²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: (2x + 1)² – (g∘f)(x) = g(f(x)) = (2x + 1)².
Dla f(x) = 2x + 1 i g(x) = x² funkcja (f∘g)(x) wynosi
- A(2x + 1)²
- B2x² + 1
- Cx² + 2x + 1
- D2x²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 2x² + 1 – (f∘g)(x) = f(g(x)) = 2x² + 1.
Dla f(x) = 2x + 1 i g(x) = x² wartość (g∘f)(2) wynosi
- A17
- B10
- C25
- D9
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 25 – f(2) = 5, g(5) = 25.
Dziedziną funkcji (g∘f)(x) = pierwiastek z x − 3 jest
- A(3, +∞)
- B⟨0, +∞)
- C⟨3, +∞)
- Dℝ
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: ⟨3, +∞) – Pod pierwiastkiem ma być x − 3 ≥ 0.
Funkcja f jest rosnąca w przedziale, gdy dla x₁ < x₂ z tego przedziału
- Af(x₂) − f(x₁) < 0
- Bf(x₂) − f(x₁) > 0
- Cf(x₁) · f(x₂) > 0
- Df(x₁) = f(x₂)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: f(x₂) − f(x₁) > 0 – Rosnąca oznacza, że większy argument daje większy wynik.
Różnica 1 przez x₂ − 1 przez x₁ dla 0 < x₁ < x₂ jest
- Aujemna
- Bnie ma stałego znaku
- Crówna 0
- Ddodatnia
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: ujemna – Równa się x₁ − x₂ przez x₁x₂: licznik ujemny, mianownik dodatni.
Funkcja f(x) = x² w przedziale ⟨0, +∞) jest
- Astała
- Bmalejąca
- Crosnąca
- Dani rosnąca, ani malejąca
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: rosnąca – x₂² − x₁² = (x₂ − x₁)(x₂ + x₁) > 0.
Czy sprawdzenie, że f(1) < f(2) < f(3), dowodzi, że f rośnie?
- ATak, jeśli f(0) = 0
- BTak, trzy punkty wystarczą
- CTak, jeśli f jest wielomianem
- DNie, definicja wymaga dowolnych x₁ < x₂
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: Nie, definicja wymaga dowolnych x₁ < x₂ – Sprawdzenie kilku wartości nie dowodzi własności dla wszystkich argumentów.
Cały dział „Funkcje”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.