1Funkcja wykładnicza
- f(x) = aˣ, gdzie podstawa a > 0 i a ≠ 1. Niewiadoma x jest w wykładniku.
- Dziedzina to ℝ, wartości są dodatnie (ZW = (0, +∞)), a wykres zawsze przechodzi przez (0, 1).
- Dla a > 1 funkcja rośnie, dla 0 < a < 1 maleje.
2Funkcja logarytmiczna
- f(x) = logₐ x, a > 0 i a ≠ 1. Dziedzina to (0, +∞), zbiór wartości ℝ, a wykres przechodzi przez (1, 0).
- Dla a > 1 funkcja rośnie, dla 0 < a < 1 maleje.
- Obie funkcje się odwracają: aˣ = b ⇔ x = logₐ b.
Przez jaki punkt przechodzi wykres każdej funkcji f(x) = aˣ?
a⁰ = 1 dla każdej podstawy a > 0.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Wzrost i zanik
N(t) = N₀ · aᵗ. N₀ to wartość początkowa, t to czas, a to krotność zmiany w jednostce czasu (a > 1 wzrost, 0 < a < 1 spadek).
- Bakterie podwajają się co godzinę: N(t) = N₀ · 2ᵗ. Po t = 3 godzinach jest ich 8 razy więcej.
- Dane: samochód za 40 000 zł traci 15% wartości rocznie, t to liczba lat.
- Wzór: zostaje 85% wartości, więc V(t) = 40 000 · 0,85ᵗ (zł).
- Obliczenia: V(3) = 40 000 · 0,85³ = 40 000 · 0,614125 = 24 565.
- Odpowiedź: po 3 latach samochód jest wart 24 565 zł.
4Proste równania
- 2ˣ = 32: 32 = 2⁵, więc x = 5. 5ˣ = 1 przez 25: x = −2.
- log₃ x = 4: z definicji x = 3⁴ = 81.
Pomylenie aˣ z xᵃ. W aˣ zmienna jest w wykładniku. Funkcja logarytmiczna jest też określona tylko dla x > 0, więc log₂ (−4) nie istnieje.
Kultura bakterii podwaja się co godzinę. Po 3 godzinach jest jej
N(3) = N₀ · 2³ = 8N₀.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Funkcje wykładnicza i logarytmiczna
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- N(t) = N₀ · aᵗ. N₀ to wartość początkowa, t to czas, a to krotność zmiany w jednostce czasu (a > 1 wzrost, 0 < a < 1 spadek).
- f(x) = aˣ, gdzie podstawa a > 0 i a ≠ 1. Niewiadoma x jest w wykładniku.
- f(x) = logₐ x, a > 0 i a ≠ 1. Dziedzina to (0, +∞), zbiór wartości ℝ, a wykres przechodzi przez (1, 0).
- 2ˣ = 32: 32 = 2⁵, więc x = 5. 5ˣ = 1 przez 25: x = −2.
- log₃ x = 4: z definicji x = 3⁴ = 81.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Zbiorem wartości funkcji f(x) = 2ˣ jest
- A(1, +∞)
- Bℝ
- C(0, +∞)
- D⟨0, +∞)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: (0, +∞) – Potęga o podstawie dodatniej jest zawsze dodatnia i dowolnie bliska zeru.
Dziedziną funkcji f(x) = log₂ x jest
- Aℝ
- B(0, +∞)
- C⟨0, +∞)
- Dℝ \ {0}
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: (0, +∞) – Liczba logarytmowana musi być dodatnia.
Funkcja f(x) = (1 przez 2)ˣ jest
- Amalejąca
- Bnieokreślona dla x < 0
- Cstała
- Drosnąca
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: malejąca – Podstawa 0 < a < 1 daje funkcję malejącą.
Przez jaki punkt przechodzi wykres każdej funkcji f(x) = aˣ?
- A(0, 0)
- B(1, 0)
- C(0, 1)
- D(1, 1)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: (0, 1) – a⁰ = 1 dla każdej podstawy a > 0.
Przez jaki punkt przechodzi wykres każdej funkcji g(x) = logₐ x?
- A(1, 0)
- B(a, 0)
- C(0, a)
- D(0, 1)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: (1, 0) – logₐ 1 = 0.
Rozwiązaniem równania 2ˣ = 32 jest
- Ax = 30
- Bx = 6
- Cx = 5
- Dx = 16
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: x = 5 – 32 = 2⁵.
Rozwiązaniem równania log₃ x = 4 jest
- Ax = 64
- Bx = 7
- Cx = 12
- Dx = 81
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: x = 81 – Z definicji x = 3⁴ = 81.
Kultura bakterii podwaja się co godzinę. Po 3 godzinach jest jej
- A6 razy więcej
- B3 razy więcej
- C8 razy więcej
- D9 razy więcej
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 8 razy więcej – N(3) = N₀ · 2³ = 8N₀.
Cały dział „Funkcje”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.