1Twierdzenie Pitagorasa
a² + b² = c². Litery a i b to przyprostokątne, a c to przeciwprostokątna, czyli bok naprzeciw kąta prostego.
- Dane: przyprostokątne a = 6, b = 8; szukasz c.
- Wzór: c² = a² + b².
- Obliczenia: c² = 36 + 64 = 100, więc c = pierwiastek z 100.
- Odpowiedź: c = 10.
- Gdy szukasz przyprostokątnej, odejmujesz: dla c = 13, a = 5 jest b² = 169 − 25 = 144, czyli b = 12.
- Trójki liczb naturalnych spełniających a² + b² = c² to trójki pitagorejskie, np. 3, 4, 5; 6, 8, 10; 5, 12, 13.
- Przekątna kwadratu o boku a: d² = a² + a², więc d = apierwiastek z 2.
- Wysokość trójkąta równobocznego o boku a: h² = a² − (a przez 2)² = 3a² przez 4, więc h = apierwiastek z 3 przez 2. Dla a = 6 jest to 3pierwiastek z 3 ≈ 5,2.
Trójkąt o bokach 7, 24, 25 jest
49 + 576 = 625 = 25².
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
2Twierdzenie odwrotne i rodzaje trójkątów
- Jeśli w trójkącie a² + b² = c², to ten trójkąt jest prostokątny.
- Gdy c jest najdłuższym bokiem, porównaj c² z a² + b².
| Porównanie | Trójkąt | Przykład |
|---|---|---|
| c² < a² + b² | ostrokątny | 4, 5, 6: 36 < 41 |
| c² = a² + b² | prostokątny | 5, 12, 13: 169 = 169 |
| c² > a² + b² | rozwartokątny | 4, 5, 8: 64 > 41 |
- Ze względu na boki: równoboczny (3 równe), równoramienny (co najmniej 2 równe), różnoboczny. Zanim policzysz, sprawdź, czy trójkąt w ogóle istnieje: najdłuższy bok musi być krótszy od sumy pozostałych.
Wstawianie do wzoru a² + b² = c² dowolnych boków. Litera c to zawsze przeciwprostokątna, czyli najdłuższy bok. Gdy szukasz przyprostokątnej, odejmujesz: b² = c² − a².
✎Ściąga: Twierdzenie Pitagorasa i rodzaje trójkątów
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- a² + b² = c². Litery a i b to przyprostokątne, a c to przeciwprostokątna, czyli bok naprzeciw kąta prostego.
- Przekątna kwadratu o boku a: d² = a² + a², więc d = apierwiastek z 2.
- Wysokość trójkąta równobocznego o boku a: h² = a² − (a przez 2)² = 3a² przez 4, więc h = apierwiastek z 3 przez 2. Dla a = 6 jest to 3pierwiastek z 3 ≈ 5,2.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Przyprostokątne trójkąta mają długości 6 i 8. Przeciwprostokątna ma długość
- A100
- B14
- C12
- D10
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 10 – c² = 36 + 64 = 100, więc c = 10.
Przeciwprostokątna ma długość 13, a jedna przyprostokątna 5. Druga przyprostokątna ma
- A144
- B18
- C12
- D8
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 12 – b² = 169 − 25 = 144, więc b = 12.
Przekątna kwadratu o boku 5 ma długość
- A5
- B5pierwiastek z 3
- C10
- D5pierwiastek z 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 5pierwiastek z 2 – d² = 25 + 25 = 50, więc d = 5pierwiastek z 2.
Wysokość trójkąta równobocznego o boku 6 wynosi
- A3pierwiastek z 3
- B3pierwiastek z 2
- C3
- D6pierwiastek z 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 3pierwiastek z 3 – h = apierwiastek z 3 przez 2 = 6pierwiastek z 3 przez 2 = 3pierwiastek z 3.
Trójkąt o bokach 4, 5, 6 jest
- Aostrokątny
- Bprostokątny
- Cnie istnieje
- Drozwartokątny
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: ostrokątny – 6² = 36 < 4² + 5² = 41.
Trójkąt o bokach 4, 5, 8 jest
- Aostrokątny
- Bnie istnieje
- Cprostokątny
- Drozwartokątny
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: rozwartokątny – 4 + 5 = 9 > 8, więc istnieje, a 8² = 64 > 16 + 25 = 41.
Trójkąt o bokach 7, 24, 25 jest
- Aostrokątny
- Brozwartokątny
- Cprostokątny
- Dnie istnieje
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: prostokątny – 49 + 576 = 625 = 25².
Z odcinków 2, 3 i 6
- Azbudujesz trójkąt prostokątny
- Bnie zbudujesz trójkąta
- Czbudujesz trójkąt ostrokątny
- Dzbudujesz trójkąt rozwartokątny
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: nie zbudujesz trójkąta – Bok 6 nie jest krótszy od sumy 2 + 3 = 5.
Cały dział „Planimetria”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.