1Zbiory i znaki między nimi
- Litery A i B oznaczają zbiory, czyli grupy elementów. A ∪ B (suma) to wszystko, co jest w A lub w B. A ∩ B (część wspólna) to elementy obecne w obu. A \ B (różnica) to A bez elementów z B.
- Dla A = {1, 2, 3, 4} i B = {3, 4, 5}: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}, A ∩ B = {3, 4}, A \ B = {1, 2}.
2Przedziały
- W zapisie (a, b) litery a i b to końce przedziału. (a, b) nie wlicza końców (a < x < b), ⟨a, b⟩ wlicza oba (a ≤ x ≤ b). Są też przedziały mieszane, np. (a, b⟩.
- Symbol ∞ (nieskończoność) nie jest liczbą, więc przy nim zawsze nawias okrągły: (−∞, 3⟩ albo ⟨2, +∞).
- Działania na przedziałach przydają się w układach nierówności: ⟨−1, 3) ∩ (0, 5⟩ = (0, 3), a (−∞, 2) ∪ ⟨2, 4⟩ = (−∞, 4⟩.
Część wspólna przedziałów ⟨−1, 3) i (0, 5⟩ to
Wspólne są liczby większe od 0 (0 nie należy do drugiego przedziału) i mniejsze od 3 (3 nie należy do pierwszego).
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Nierówność liniowa krok po kroku
- Przenosisz wyrazy z x na jedną stronę, liczby na drugą, jak w równaniu. Jest jedna zmiana: mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności.
- Dane: 3 − 2x < 7.
- Odejmij 3 od obu stron: −2x < 4.
- Podziel przez −2 i odwróć znak: x > −2.
- Odpowiedź: x ∈ (−2, +∞). Znak ∈ czytaj „należy do”. Dwójki nie wliczasz, bo nierówność jest ostra.
- Dwa szczególne przypadki: x + 1 > x jest prawdziwe dla każdej liczby (tożsamościowa), a x + 1 < x nie ma rozwiązań (sprzeczna).
Zostawienie znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną albo zapis ⟨3, +∞⟩ z nawiasem ostrym przy nieskończoności. Poprawnie: ⟨3, +∞).
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Zbiór ⟨−2, 3) zapisany nierównością to
- A−2 ≤ x ≤ 3
- B−2 < x < 3
- C−2 < x ≤ 3
- D−2 ≤ x < 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: −2 ≤ x < 3 – Nawias ⟨ wlicza lewy koniec, a nawias ) go nie wlicza.
Rozwiązaniem nierówności −3x + 6 > 0 jest
- Ax > 2
- Bx < −2
- Cx < 2
- Dx > −2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: x < 2 – −3x > −6; dzielimy przez −3 i odwracamy znak, więc x < 2.
Rozwiązaniem nierówności 3 − 2x < 7 jest zbiór
- A(−∞, 2)
- B(−2, +∞)
- C(−∞, −2)
- D(2, +∞)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: (−2, +∞) – −2x < 4, a po podzieleniu przez −2 mamy x > −2.
Dla A = {1, 2, 3, 4} i B = {3, 4, 5} zbiór A \ B to
- A{1, 2, 5}
- B{3, 4}
- C{5}
- D{1, 2}
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: {1, 2} – Z A usuwamy elementy należące do B, zostają 1 i 2.
Część wspólna przedziałów ⟨−1, 3) i (0, 5⟩ to
- A⟨−1, 5⟩
- B(−1, 5)
- C⟨0, 3⟩
- D(0, 3)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: (0, 3) – Wspólne są liczby większe od 0 (0 nie należy do drugiego przedziału) i mniejsze od 3 (3 nie należy do pierwszego).
Który zapis jest poprawny?
- A⟨5, ∞⟩
- B⟨−∞, 5⟩
- C(−∞, 5⟩
- D(−∞, 5) ∪ ∞
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: (−∞, 5⟩ – Przy ∞ stawiamy nawias okrągły, bo to nie jest liczba, ale 5 można wliczyć.
Nierówność x + 1 > x jest spełniona przez
- Atylko x = 0
- Bżadną liczbę
- Ctylko liczby dodatnie
- Dkażdą liczbę rzeczywistą
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: każdą liczbę rzeczywistą – Po odjęciu x z obu stron zostaje 1 > 0, co jest zawsze prawdziwe.
Suma (−∞, 2) ∪ ⟨2, 4⟩ to
- A(−∞, 4⟩
- B⟨2, 4⟩
- C(−∞, 2)
- D(−∞, 4)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: (−∞, 4⟩ – Dwójka należy do drugiego przedziału, więc przedziały łączą się w jeden bez dziury.
Cały dział „Język matematyki”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.