1Nierówności z jednym modułem
- W |x − a| ≤ r litera a to środek, r ≥ 0 to graniczna odległość, a x szukana liczba. Pasują liczby z przedziału ⟨a − r, a + r⟩.
- Przykład: |x − 1| ≤ 2 daje x ∈ ⟨−1, 3⟩.
- Przy |x − a| ≥ r (dla r > 0) idziesz na zewnątrz: x ≤ a − r lub x ≥ a + r. Np. |x| ≥ 4 daje x ∈ (−∞, −4⟩ ∪ ⟨4, +∞).
- Nierówność ostra: |x| < 3 daje −3 < x < 3.
2Dwa moduły: podział na przedziały
- Znajdź zera wyrażeń pod kreskami, bo tam może zmienić się znak. Na każdym przedziale zdejmij kreski zgodnie ze znakami, rozwiąż i sprawdź, czy wynik leży w tym przedziale.
- Dane: |x − 1| + |x + 2| = 5. Zera: x = 1 i x = −2.
- Dla x < −2: −(x − 1) − (x + 2) = 5, więc −2x − 1 = 5 i x = −3. Pasuje.
- Dla −2 ≤ x < 1: −(x − 1) + (x + 2) = 5 daje 3 = 5, czyli brak rozwiązań.
- Dla x ≥ 1: (x − 1) + (x + 2) = 5, więc 2x + 1 = 5 i x = 2. Pasuje.
- Odpowiedź: x ∈ {−3, 2}.
- Z wykresu widać też, że |x − 1| + |x + 2| < 5 dla x ∈ (−3, 2), a środkowy odcinek ma wysokość 3, czyli odległość między punktami 1 i −2.
- Warto pamiętać: |a| = |b| ⇔ a = b lub a = −b.
Przyjęcie wyniku z jednego przedziału bez sprawdzenia, czy do niego należy. Taki wynik odrzucasz, bo kresek nie zdjąłeś zgodnie z jego znakami.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Rozwiązaniem nierówności |x − 1| ≤ 2 jest
- A⟨−3, 1⟩
- B⟨1, 2⟩
- C(−∞, −1⟩ ∪ ⟨3, +∞)
- D⟨−1, 3⟩
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: ⟨−1, 3⟩ – Szukamy liczb odległych od 1 o najwyżej 2, czyli od −1 do 3.
Rozwiązaniem nierówności |x| ≥ 4 jest
- A⟨4, +∞)
- B(−4, 4)
- C⟨−4, 4⟩
- D(−∞, −4⟩ ∪ ⟨4, +∞)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: (−∞, −4⟩ ∪ ⟨4, +∞) – Odległość od zera co najmniej 4 oznacza dwie półproste.
Rozwiązaniem nierówności |x| < 3 jest
- A(−∞, −3) ∪ (3, +∞)
- B(−3, 3)
- C⟨−3, 3⟩
- D(−∞, 3)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: (−3, 3) – Nierówność ostra, więc końce nie należą do zbioru.
Rozwiązaniem równania |x − 1| + |x + 2| = 5 są liczby
- A−3 i 2
- B−2 i 1
- Ctylko 2
- D−3 i 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: −3 i 2 – W przedziałach: x = −3 dla x < −2, brak dla środkowego, x = 2 dla x ≥ 1.
Ile rozwiązań ma równanie |x − 1| + |x + 2| = 3?
- Adwa
- Bjedno
- Cnieskończenie wiele
- Dżadnego
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: nieskończenie wiele – Na przedziale ⟨−2, 1⟩ lewa strona jest stale równa 3, więc pasuje każda liczba z tego przedziału.
Ile rozwiązań ma równanie |x − 1| + |x + 2| = 2?
- Ażadnego
- Bjedno
- Cdwa
- Dnieskończenie wiele
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: żadnego – Najmniejsza wartość lewej strony to 3 (odległość między −2 i 1), więc 2 jest niemożliwe.
Równanie |a| = |b| jest równoważne
- Aa = b lub a = −b
- Ba² = b
- Ca = −b
- Da = b
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: a = b lub a = −b – Równe odległości od zera mają liczby równe albo przeciwne.
Od czego zaczynasz rozwiązywanie równania z kilkoma modułami?
- AOd odrzucenia modułów
- BOd wymnożenia przez wartość bezwzględną
- COd podniesienia obu stron do sześcianu
- DOd znalezienia zer wyrażeń pod kreskami
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: Od znalezienia zer wyrażeń pod kreskami – W tych zerach zmienia się znak, więc dzielą one oś na przedziały.
Cały dział „Język matematyki”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.