1Pierwiastek kwadratowy i sześcienny
- pierwiastek z a (dla a ≥ 0) to nieujemna liczba, której kwadrat jest równy a: pierwiastek z 49 = 7, bo 7² = 49. Liczba a to liczba podpierwiastkowa.
- Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje.
- 3pierwiastek stopnia 3 z a to liczba, której sześcian jest równy a. Istnieje dla każdej liczby: 3pierwiastek stopnia 3 z 27 = 3, 3pierwiastek stopnia 3 z −8 = −2, bo (−2)³ = −8.
- Ułamki: pierwiastek z 9 przez 25 = 3 przez 5; pierwiastek z 0,25 = 0,5; pierwiastek z 21 przez 4 = pierwiastek z 9 przez 4 = 3 przez 2.
2Własności i przekształcenia
pierwiastek z a · b = pierwiastek z a · pierwiastek z b; pierwiastek z a przez b = pierwiastek z a przez pierwiastek z b
- a i b to liczby pod pierwiastkiem: a ≥ 0, b ≥ 0, a w ułamku b > 0 (mianownik nie może być zerem).
- Wyłączanie czynnika przed pierwiastek – przykład pierwiastek z 50:
- Szukasz największego kwadratu liczby naturalnej, który dzieli 50: to 25.
- pierwiastek z 50 = pierwiastek z 25 · 2 = pierwiastek z 25 · pierwiastek z 2.
- Wynik: 5pierwiastek z 2.
- Włączanie czynnika pod pierwiastek: 3pierwiastek z 2 = pierwiastek z 9 · pierwiastek z 2 = pierwiastek z 18.
- Dodajesz tylko jednakowe pierwiastki: 2pierwiastek z 3 + 5pierwiastek z 3 = 7pierwiastek z 3.
Liczba pierwiastek z 48 jest równa
48 = 16 · 3, więc pierwiastek z 48 = pierwiastek z 16 · pierwiastek z 3 = 4pierwiastek z 3.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Szacowanie i liczby niewymierne
- pierwiastek z 30: 25 < 30 < 36, więc 5 < pierwiastek z 30 < 6.
- pierwiastek z 2, pierwiastek z 3 i π są niewymierne – nie da się ich zapisać jako ułamka a przez b; mają rozwinięcie nieskończone nieokresowe (pierwiastek z 2 ≈ 1,41).
pierwiastek z 9 + 16 = 3 + 4 = 7
Pierwiastek z sumy to nie suma pierwiastków: pierwiastek z 9 + 16 = pierwiastek z 25 = 5.
✎Ściąga: Pierwiastki
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- pierwiastek z a · b = pierwiastek z a · pierwiastek z b; pierwiastek z a przez b = pierwiastek z a przez pierwiastek z b
- pierwiastek z a (dla a ≥ 0) to nieujemna liczba, której kwadrat jest równy a: pierwiastek z 49 = 7, bo 7² = 49. Liczba a to liczba podpierwiastkowa.
- 3pierwiastek stopnia 3 z a to liczba, której sześcian jest równy a. Istnieje dla każdej liczby: 3pierwiastek stopnia 3 z 27 = 3, 3pierwiastek stopnia 3 z −8 = −2, bo (−2)³ = −8.
- Wyłączanie czynnika przed pierwiastek – przykład pierwiastek z 50:
- Włączanie czynnika pod pierwiastek: 3pierwiastek z 2 = pierwiastek z 9 · pierwiastek z 2 = pierwiastek z 18.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Liczba pierwiastek z 48 jest równa
- A6pierwiastek z 8
- B3pierwiastek z 4
- C4pierwiastek z 3
- D16pierwiastek z 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 4pierwiastek z 3 – 48 = 16 · 3, więc pierwiastek z 48 = pierwiastek z 16 · pierwiastek z 3 = 4pierwiastek z 3.
Ile wynosi 3pierwiastek stopnia 3 z −27?
- Anie istnieje
- B−9
- C−3
- D3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: −3 – (−3)³ = −27, a pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje.
Liczba pierwiastek z 55 leży między liczbami
- A5 i 6
- B27 i 28
- C6 i 7
- D7 i 8
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 7 i 8 – 49 < 55 < 64, więc 7 < pierwiastek z 55 < 8.
Iloczyn pierwiastek z 2 · pierwiastek z 18 jest równy
- A9
- Bpierwiastek z 20
- C6
- D36
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 6 – pierwiastek z 2 · 18 = pierwiastek z 36 = 6.
Ile wynosi pierwiastek z 9 + 16?
- A7
- B25
- C5
- D12
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 5 – Najpierw dodajemy pod pierwiastkiem: pierwiastek z 25 = 5.
Która liczba jest niewymierna?
- Apierwiastek z 4 przez 9
- B0,(3)
- C3pierwiastek stopnia 3 z 8
- Dpierwiastek z 20
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: pierwiastek z 20 – pierwiastek z 20 = 2pierwiastek z 5, a pierwiastek z 4 przez 9 = 2 przez 3, 3pierwiastek stopnia 3 z 8 = 2 i 0,(3) = 1 przez 3.
Liczba 2pierwiastek z 5 zapisana w postaci jednego pierwiastka to
- Apierwiastek z 25
- Bpierwiastek z 7
- Cpierwiastek z 20
- Dpierwiastek z 10
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: pierwiastek z 20 – 2 = pierwiastek z 4, więc 2pierwiastek z 5 = pierwiastek z 4 · 5 = pierwiastek z 20.
Ile wynosi pierwiastek z 0,09?
- A0,0081
- B0,3
- C0,9
- D0,03
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 0,3 – 0,3 · 0,3 = 0,09.
Cały dział „Potęgi i pierwiastki”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.