1Twierdzenie Pitagorasa
- W trójkącie prostokątnym boki przy kącie prostym to przyprostokątne (a, b). Bok naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna (c) – zawsze najdłuższy bok.
a² + b² = c²
- a, b – długości przyprostokątnych, c – długość przeciwprostokątnej (wszystkie w tych samych jednostkach).
2Liczenie boków krok po kroku
- Zadanie 1: przyprostokątne mają 6 cm i 8 cm. Oblicz przeciwprostokątną.
- c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
- c = pierwiastek z 100 = 10, więc przeciwprostokątna ma 10 cm.
- Zadanie 2: przeciwprostokątna ma 13 cm, a jedna przyprostokątna 5 cm. Oblicz drugą przyprostokątną.
- b² = c² − a² = 169 − 25 = 144.
- b = pierwiastek z 144 = 12, więc druga przyprostokątna ma 12 cm.
- Wynik nie zawsze jest całkowity: dla a = 2 i b = 3 mamy c = pierwiastek z 4 + 9 = pierwiastek z 13.
Dodawanie kwadratów, gdy szukasz przyprostokątnej. Wtedy od kwadratu przeciwprostokątnej odejmujesz kwadrat znanej przyprostokątnej.
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają 5 cm i 12 cm. Przeciwprostokątna ma
c² = 25 + 144 = 169, więc c = 13 cm.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Twierdzenie odwrotne
- Jeśli w trójkącie suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny (kąt prosty leży naprzeciw najdłuższego boku).
- 7, 24, 25: 49 + 576 = 625 = 25² – trójkąt jest prostokątny.
- 4, 5, 6: 16 + 25 = 41, a 6² = 36 – trójkąt nie jest prostokątny.
✎Ściąga: Twierdzenie Pitagorasa
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- a² + b² = c²
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają 5 cm i 12 cm. Przeciwprostokątna ma
- A169 cm
- B17 cm
- C13 cm
- Dpierwiastek z 119 cm
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 13 cm – c² = 25 + 144 = 169, więc c = 13 cm.
Przeciwprostokątna ma 10 cm, a jedna przyprostokątna 6 cm. Druga przyprostokątna ma
- A64 cm
- B4 cm
- Cpierwiastek z 136 cm
- D8 cm
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 8 cm – b² = 100 − 36 = 64, więc b = 8 cm.
Przyprostokątne mają długości 2 i 4. Przeciwprostokątna ma długość
- A2pierwiastek z 5
- B2pierwiastek z 3
- C6
- D20
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2pierwiastek z 5 – c² = 4 + 16 = 20, c = pierwiastek z 20 = pierwiastek z 4 · 5 = 2pierwiastek z 5.
Które długości boków ma trójkąt prostokątny?
- A9, 12, 15
- B2, 3, 4
- C4, 5, 6
- D5, 6, 7
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 9, 12, 15 – 81 + 144 = 225 = 15², więc z twierdzenia odwrotnego trójkąt jest prostokątny.
W trójkącie ABC kąt prosty jest przy wierzchołku C. Przeciwprostokątną jest bok
- Ażaden z nich
- BAB
- CAC
- DBC
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: AB – Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego, czyli naprzeciw C.
Przyprostokątne mają po 1 cm. Przeciwprostokątna ma
- A2 cm
- B1 cm
- Cpierwiastek z 2 cm
- Dpierwiastek z 3 cm
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: pierwiastek z 2 cm – c² = 1 + 1 = 2, więc c = pierwiastek z 2 cm.
Czy trójkąt o bokach 6, 8 i 11 jest prostokątny?
- ANie, bo 6 + 8 ≠ 11.
- BNie, bo 36 + 64 = 100, a 11² = 121.
- CTak, bo 6 + 8 > 11.
- DTak, bo 36 + 64 = 100.
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: Nie, bo 36 + 64 = 100, a 11² = 121. – Suma kwadratów krótszych boków (100) nie równa się kwadratowi najdłuższego (121).
Przeciwprostokątna ma 25 cm, a jedna przyprostokątna 7 cm. Druga przyprostokątna ma
- A32 cm
- Bpierwiastek z 674 cm
- C18 cm
- D24 cm
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 24 cm – b² = 625 − 49 = 576, więc b = 24 cm.
Cały dział „Twierdzenie Pitagorasa”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.