ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Funkcje wymierneklasa 2 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/2/matematyka/zadania-z-rownaniami-wymiernymi-wspolna-praca-i-ruch/

Matematyka · Funkcje wymierne · kl. 2 · zakres rozszerzony

Zadania z równaniami wymiernymi: wspólna praca i ruch

Zakres rozszerzony: w zadaniach o wspólnej pracy i ruchu niewiadoma ląduje w mianowniku. Zapisujesz równanie wymierne, rozwiązujesz je i sprawdzasz, czy wynik ma sens.

ok. 3 min czytania8 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Wspólna praca

  • Jeśli pierwsza osoba wykona całą pracę w a godzin, a druga w b godzin, to w ciągu jednej godziny robią 1 przez a i 1 przez b pracy. Razem w czasie t: 1 przez t = 1 przez a + 1 przez b.
  • Przykład prosty: Jan robi pracę 6 h, Ala 3 h. 1 przez 6 + 1 przez 3 = 1 przez 2, więc razem 2 godziny.
  • Przykład z niewiadomą. Dane: dwie rury napełniają basen razem w 4 h. Pierwsza sama potrzebuje x godzin, druga x + 6 godzin. Dziedzina: x > 0.
  • Równanie: 1 przez x + 1 przez x + 6 = 1 przez 4. Mnożymy przez 4x(x + 6): 4(x + 6) + 4x = x(x + 6), czyli x² − 2x − 24 = 0.
  • Δ = 4 + 96 = 100, x = 2 ± 10 przez 2, czyli x = 6 lub x = −⁠4. Odrzucamy −⁠4. Odpowiedź: pierwsza rura 6 h, druga 12 h. Sprawdzenie: 1 przez 6 + 1 przez 12 = 1 przez 4.

2Ruch

  • Wzór t = s przez v, gdzie t to czas w h, s droga w km, v prędkość w km/h.
  • Przykład. Pociąg przejechał 120 km. Gdyby jechał o 10 km/h szybciej, byłby na miejscu o godzinę wcześniej. Niewiadoma: v > 0.
  • Równanie: 120 przez v − 120 przez v + 10 = 1. Mnożymy przez v(v + 10): 1200 = v² + 10v, czyli v² + 10v − 1200 = 0.
  • Δ = 100 + 4800 = 4900, v = −⁠10 ± 70 przez 2, czyli v = 30 lub v = −⁠40. Odrzucamy −⁠40. Odpowiedź: 30 km/h (4 h jazdy; po przyspieszeniu 3 h).
Sprawdź, czy rozumiesz

Pierwsza rura napełnia basen w x godzin, druga w x + 6 godzin, razem w 4 godziny. Które równanie opisuje zadanie?

3Plan działania

  • Oznacz niewiadomą (z jednostką), zapisz jej dziedzinę, ułóż równanie, rozwiąż je, odrzuć wyniki spoza dziedziny i odpowiedz zdaniem.
Zapamiętaj

Szybkość pracy to 1 przez czas. Dodajemy szybkości, nie czasy.

Uwaga na błąd

Dodawanie czasów (a + b) zamiast szybkości pracy (1 przez a + 1 przez b). Dwie osoby razem pracują szybciej niż każda z osobna, więc czas razem musi być krótszy od obu.

✎Ściąga: Zadania z równaniami wymiernymi: wspólna praca i ruch

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • Szybkość pracy to 1 przez czas. Dodajemy szybkości, nie czasy.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Jan wykona pracę w 6 godzin, a Ala w 3 godziny. Razem wykonają ją w

    1. A1,5 godziny
    2. B2 godziny
    3. C4,5 godziny
    4. D9 godzin
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 2 godziny – 1 przez 6 + 1 przez 3 = 1 przez 2 pracy na godzinę, więc cała praca zajmie 2 h.

  2. Dwie rury napełniają basen w 4 h i w 12 h. Razem napełnią go w

    1. A16 godzin
    2. B6 godzin
    3. C3 godziny
    4. D8 godzin
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 3 godziny – 1 przez 4 + 1 przez 12 = 1 przez 3, więc t = 3 h.

  3. Pierwsza rura napełnia basen w x godzin, druga w x + 6 godzin, razem w 4 godziny. Które równanie opisuje zadanie?

    1. A1 przez x + 1 przez x + 6 = 1 przez 4
    2. Bx + (x + 6) = 4
    3. C1 przez x + 1 przez x + 6 = 4
    4. D1 przez x · 1 przez x + 6 = 1 przez 4
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 1 przez x + 1 przez x + 6 = 1 przez 4 – Suma ilości pracy wykonanej w ciągu jednej godziny to 1 przez 4 całości.

  4. Po rozwiązaniu równania x² − 2x − 24 = 0, w którym x to liczba godzin, do odpowiedzi bierzemy

    1. Ax = 6
    2. Boba rozwiązania
    3. Cx = −⁠4
    4. Dx = 12
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: x = 6 – Czas nie może być ujemny, więc x = −⁠4 odrzucamy.

  5. Turysta przeszedł 12 km. Gdyby szedł o 1 km/h szybciej, szedłby o godzinę krócej. Jaka była jego prędkość?

    1. A3 km/h
    2. B2 km/h
    3. C4 km/h
    4. D12 km/h
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 3 km/h – Z 12 przez v − 12 przez v + 1 = 1 mamy v² + v − 12 = 0, więc v = 3 (wynik −⁠4 odrzucamy).

  6. Które równanie opisuje zadanie o turyście (12 km, o 1 km/h szybciej, o 1 h krócej)?

    1. Av przez 12 − v + 1 przez 12 = 1
    2. B12 przez v − 12 przez v + 1 = 1
    3. C12 przez v + 12 przez v + 1 = 1
    4. D12v − 12(v + 1) = 1
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 12 przez v − 12 przez v + 1 = 1 – Czas pierwotny to 12 przez v, czas po przyspieszeniu 12 przez v + 1, a różnica wynosi 1 godzinę.

  7. W zadaniu o prędkości v (km/h) dziedziną niewiadomej jest

    1. AR
    2. Bv > 0
    3. Cv < 0
    4. Dv ≠ 0
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: v > 0 – Prędkość w takim zadaniu musi być dodatnia.

  8. Ola i Ada razem sprzątają mieszkanie w 12 godzin, a Ola sama w 20 godzin. Ada sama zrobiłaby to w

    1. A32 godziny
    2. B30 godzin
    3. C15 godzin
    4. D8 godzin
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 30 godzin – 1 przez 12 − 1 przez 20 = 5 − 3 przez 60 = 1 przez 30.

Cały dział „Funkcje wymierne”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 8🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 2

Równania i nierówności kwadratoweWartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej, optymalizacjaWzory Viète'a i wyrażenia symetryczne pierwiastkówRównania i nierówności kwadratowe z parametremRównania dwukwadratowe i układy równań liniowo-kwadratowychWykres funkcji kwadratowej: parabola, wierzchołek i przesuwaniePostacie wzoru funkcji kwadratowej i wyznaczanie wzoruWłasności funkcji kwadratowej i odczytywanie z wykresuWartość bezwzględna w funkcji kwadratowejWielomiany – pojęcie, działania i wzory skróconego mnożeniaRozkład wielomianu na czynniki i równania w postaci iloczynowejDzielenie wielomianu przez dwumian, twierdzenie Bézouta i schemat HorneraRównania i nierówności wielomianoweSymbol Newtona, trójkąt Pascala i wzór dwumianowyWzory na sześciany i rozkład wielomianu: grupowanie, suma i różnica sześcianówFunkcja wymierna – hiperbola i asymptotyOdwrotna proporcjonalność w zadaniach: praca, ruch, zakupyFunkcja (ax + b)/(cx + d): wydzielanie całości, monotoniczność, złożenieOkrąg, cięciwa, styczna – wzajemne położenieKąty w okręgu, długość łuku i pole wycinkaOkrąg wpisany i opisany na trójkącie, punkty szczególneCzworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu, twierdzenie odwrotne do TalesaTwierdzenie o dwusiecznej i o odcinkach w trójkącie prostokątnymWzajemne położenie dwóch okręgówDowody istnienia punktów szczególnych trójkątaTrygonometria w figurach płaskich – pola i długości odcinkówKąt skierowany i miara łukowaFunkcje trygonometryczne dowolnego kąta, ćwiartki i wzory redukcyjneWykresy funkcji trygonometrycznychWzory na sumę, różnicę i kąt podwojonyRównania trygonometryczneTwierdzenia sinusów i cosinusów – trójkąty dowolneAnaliza przypadków i dowód nie wprost – trójkąt niejednoznacznyDowodzenie w geometrii – jak zapisać uzasadnienieModelowanie matematyczne i zapis rozwiązania na maturze