1Przypomnienie: proporcjonalność odwrotna
- f(x) = a przez x, gdzie a to stała różna od zera, a x ≠ 0. Wykresem jest hiperbola: dla a > 0 leży w I i III ćwiartce, dla a < 0 w II i IV.
- Opisuje wielkości odwrotnie proporcjonalne: x · y = a.
- Uwaga: dla a > 0 funkcja maleje w (−∞, 0) i w (0, +∞), ale nie jest malejąca w całej dziedzinie. Np. −1 < 1, a f(−1) = −2 < f(1) = 2.
Funkcja f(x) = 2 przez x
Dla a > 0 funkcja maleje osobno na każdej gałęzi, a f(−1) < f(1) pokazuje, że w całej dziedzinie nie maleje.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
2Przesunięcie hiperboli
f(x) = a przez x − p + q to wykres y = a przez x przesunięty o wektor [p, q]: p w poziomie, q w pionie.
- Dziedzina to R \ {p}, bo mianownik nie może być zerem. Zbiór wartości to R \ {q}, bo ułamek a przez x − p nigdy nie jest zerem.
- Proste x = p i y = q to asymptoty: wykres zbliża się do nich coraz bliżej, ale ich nie dotyka. (Pojęcie asymptoty to dodatek ponad podstawę, ale ułatwia szkic.) Punkt (p, q) to środek hiperboli.
- Przykład. Dane: f(x) = 2 przez x − 1 + 3, czyli a = 2, p = 1, q = 3.
- Dziedzina: R \ {1}. Zbiór wartości: R \ {3}.
- Miejsce zerowe: 2 przez x − 1 = −3, stąd x − 1 = −2 przez 3 i x = 1 przez 3.
- Przecięcie z osią OY: f(0) = 2 przez −1 + 3 = 1, czyli punkt (0, 1).
Zły znak przy p. W f(x) = 2 przez x + 1 − 4 mamy p = −1 (x + 1 = x − (−1)) i q = −4. Asymptoty to x = −1 i y = −4.
✎Ściąga: Funkcja wymierna – hiperbola i asymptoty
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- f(x) = a przez x − p + q to wykres y = a przez x przesunięty o wektor [p, q]: p w poziomie, q w pionie.
- f(x) = a przez x, gdzie a to stała różna od zera, a x ≠ 0. Wykresem jest hiperbola: dla a > 0 leży w I i III ćwiartce, dla a < 0 w II i IV.
- Dziedzina to R \ {p}, bo mianownik nie może być zerem. Zbiór wartości to R \ {q}, bo ułamek a przez x − p nigdy nie jest zerem.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Dziedziną funkcji f(x) = 3 przez x − 2 + 1 jest
- AR \ {2}
- BR
- CR \ {−2}
- DR \ {1}
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: R \ {2} – Mianownik x − 2 nie może być zerem, więc wykluczamy x = 2.
Zbiorem wartości funkcji f(x) = 3 przez x − 2 + 1 jest
- AR \ {1}
- BR
- CR \ {3}
- DR \ {2}
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: R \ {1} – Ułamek 3 przez x − 2 nigdy nie jest zerem, więc f(x) nigdy nie równa się 1.
Wykres funkcji y = −4 przez x leży w ćwiartkach
- AII i IV
- BIII i IV
- CI i III
- DI i II
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: II i IV – Dla a < 0 liczby x i y mają przeciwne znaki.
Wykres y = 2 przez x + 1 − 4 powstaje z wykresu y = 2 przez x przez przesunięcie o wektor
- A[−1, 4]
- B[−1, −4]
- C[1, −4]
- D[1, 4]
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: [−1, −4] – Mianownik x + 1 = x − (−1), więc p = −1, a q = −4.
Miejscem zerowym funkcji f(x) = 2 przez x − 1 + 3 jest
- A5 przez 3
- B1 przez 3
- C4
- D−2 przez 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 1 przez 3 – 2 przez x − 1 = −3 daje x − 1 = −2 przez 3, czyli x = 1 przez 3.
Wykres funkcji f(x) = 2 przez x − 1 + 3 przecina oś OY w punkcie
- A(0, 3)
- B(0, 5)
- C(0, 1)
- D(1, 0)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: (0, 1) – f(0) = 2 przez −1 + 3 = 1.
Asymptotami wykresu y = 3 przez x − 2 + 1 są proste
- Ax = 1 i y = 2
- Bx = −2 i y = 1
- Cx = 2 i y = 1
- Dx = 2 i y = 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: x = 2 i y = 1 – Asymptota pionowa to x = p = 2, a pozioma to y = q = 1.
Funkcja f(x) = 2 przez x
- Ajest rosnąca w (0, +∞)
- Bmaleje w (−∞, 0) i w (0, +∞), ale nie w całej dziedzinie
- Cjest funkcją stałą
- Djest malejąca w całej swojej dziedzinie
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: maleje w (−∞, 0) i w (0, +∞), ale nie w całej dziedzinie – Dla a > 0 funkcja maleje osobno na każdej gałęzi, a f(−1) < f(1) pokazuje, że w całej dziedzinie nie maleje.
Cały dział „Funkcje wymierne”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.