1Jak ją rozpoznać
- W odwrotnej proporcjonalności x · y = a (stała), czyli y = a przez x. Gdy jedna wielkość rośnie k razy, druga maleje k razy.
- W zwykłej (prostej) proporcjonalności stały jest iloraz y przez x.
| Sytuacja | Zależność |
|---|---|
| stała droga: prędkość i czas | odwrotna (v · t = s) |
| stała prędkość: droga i czas | prosta (s = v · t) |
| stały budżet 120 zł: cena sztuki i liczba sztuk | odwrotna |
| stała cena: liczba sztuk i koszt | prosta |
2Schemat rozwiązania
- Krok 1 (dane): znajdź parę wartości, które znasz. Krok 2: policz stałą a = x · y. Krok 3: policz brakującą wielkość ze wzoru y = a przez x.
- Przykład 1. Dane: 8 osób maluje klasę w 6 godzin. Stała: a = 8 · 6 = 48 (osobogodzin pracy).
- Dla 12 osób: t = 48 przez 12 = 4 h. Dla 3 osób: t = 48 przez 3 = 16 h.
- Przykład 2. Droga s = 24 km, czas t = s przez v, gdzie t w godzinach, s w kilometrach, v w km/h. Dla v = 12 km/h: t = 2 h. Dla v = 16 km/h: t = 1,5 h.
Które wielkości są odwrotnie proporcjonalne?
Przy stałej pracy iloczyn liczby osób i czasu jest stały. Pozostałe pary wielkości są wprost proporcjonalne.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Co ma sens w zadaniu
- Liczba osób musi być całkowita i dodatnia, a prędkość większa od zera (v > 0). Z całej hiperboli bierzesz więc tylko jedną gałąź, x > 0.
Stały iloczyn: dwa razy więcej osób, to dwa razy mniej czasu (przy tym samym tempie pracy każdej osoby).
„dwa razy więcej osób, dwa razy więcej dni”
To proporcjonalność prosta, a w tym zadaniu jest odwrotna.
✎Ściąga: Odwrotna proporcjonalność w zadaniach: praca, ruch, zakupy
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Stały iloczyn: dwa razy więcej osób, to dwa razy mniej czasu (przy tym samym tempie pracy każdej osoby).
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
8 osób maluje klasę w 6 godzin. Ile godzin zajmie to 12 osobom pracującym w tym samym tempie?
- A2
- B8
- C4
- D9
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 4 – 8 · 6 = 48 osobogodzin, a 48 przez 12 = 4. Wynik 9 dałaby proporcjonalność prosta.
Rowerzysta ma do przejechania 24 km. Z prędkością 16 km/h jedzie
- A0,67 h
- B1,5 h
- C8 h
- D40 h
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 1,5 h – t = s przez v = 24 przez 16 = 1,5 h.
Wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne. Dla x = 5 mamy y = 4. Ile wynosi y dla x = 10?
- A2
- B9
- C20
- D8
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2 – a = 5 · 4 = 20, więc y = 20 przez 10 = 2.
Które wielkości są odwrotnie proporcjonalne?
- Adroga i czas przy stałej prędkości
- Bliczba osób i czas wykonania tej samej pracy
- Cbok kwadratu i jego obwód
- Dmasa jabłek i koszt przy stałej cenie
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: liczba osób i czas wykonania tej samej pracy – Przy stałej pracy iloczyn liczby osób i czasu jest stały. Pozostałe pary wielkości są wprost proporcjonalne.
Za 120 zł kupujesz jednakowe zeszyty. Po 8 zł za sztukę kupisz
- A16 sztuk
- B960 sztuk
- C112 sztuk
- D15 sztuk
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 15 sztuk – Cena razy liczba sztuk jest stała i równa 120, więc 120 przez 8 = 15.
Punkt (4, 3) leży na wykresie funkcji odwrotnie proporcjonalnej. Jej wzór to
- Ay = 12 przez x
- By = 4 przez 3x
- Cy = 12x
- Dy = 3 przez 4x
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: y = 12 przez x – a = 4 · 3 = 12, a wzór to y = 12 przez x.
Czas przejazdu tej samej trasy skrócił się 3 razy. Prędkość
- Azmalała 3 razy
- Bwzrosła o 3 km/h
- Cnie zmieniła się
- Dwzrosła 3 razy
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: wzrosła 3 razy – Przy stałej drodze v · t = s, więc gdy t maleje 3 razy, v rośnie 3 razy.
4 maszyny wykonują zamówienie w 9 dni. Ile dni potrzeba 6 takim maszynom?
- A4
- B3
- C13,5
- D6
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 6 – 4 · 9 = 36 maszynodni, a 36 przez 6 = 6 dni.
Cały dział „Funkcje wymierne”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.