1Wydzielanie całości
- Funkcja f(x) = ax + b przez cx + d, gdzie a, b, c, d to stałe, c ≠ 0 i ad − bc ≠ 0 (inaczej wychodzi funkcja stała).
- Przykład. Dane: f(x) = x − 1 przez x + 2. W liczniku robimy mianownik: (x + 2) − 3 przez x + 2 = 1 − 3 przez x + 2.
- To postać a przez x − p + q z a = −3, p = −2, q = 1. Asymptoty: x = −2 i y = 1. Dziedzina R \ {−2}, zbiór wartości R \ {1}.
2Monotoniczność z definicji
- Funkcja jest rosnąca w przedziale, gdy dla x₁ < x₂ z tego przedziału mamy f(x₁) < f(x₂). Dowód: policz f(x₁) − f(x₂) i zbadaj znak.
- Przykład. Wykaż, że f(x) = x − 1 przez x + 2 jest rosnąca w (−∞, −2). Weźmy x₁ < x₂ < −2.
- f(x₁) − f(x₂) = (x₁ − 1)(x₂ + 2) − (x₂ − 1)(x₁ + 2) przez (x₁ + 2)(x₂ + 2) = 3(x₁ − x₂) przez (x₁ + 2)(x₂ + 2).
- Licznik jest ujemny (x₁ < x₂), mianownik dodatni (oba czynniki ujemne). Różnica jest ujemna, więc f(x₁) < f(x₂): funkcja rośnie.
W dowodzie monotoniczności f(x) = x − 1 przez x + 2 w (−∞, −2) różnica f(x₁) − f(x₂) = 3(x₁ − x₂) przez (x₁ + 2)(x₂ + 2) jest ujemna, bo
x₁ < x₂, więc x₁ − x₂ < 0, a dla x < −2 oba czynniki x + 2 są ujemne, więc ich iloczyn jest dodatni.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Złożenie funkcji
- (g∘f)(x) = g(f(x)): najpierw f, potem g. Dziedzina: te x z dziedziny f, dla których f(x) należy do dziedziny g.
- Przykład: f(x) = x² + 1, g(x) = 1 przez x. Wtedy (g∘f)(x) = 1 przez x² + 1, dziedzina R. Za to (f∘g)(x) = 1 przez x² + 1, dziedzina R \ {0}. Kolejność ma znaczenie.
4Moduł
- Wykres y = |f(x)| dla funkcji wymiernej: część pod osią OX odbij nad oś. Np. y = |1 przez x − 2 + 1| ma miejsce zerowe x = 1. Liczbę rozwiązań |f(x)| = m odczytujesz z przecięć z prostą y = m.
Gdy mianownik jest częścią wyrażenia, najpierw zapisz dziedzinę, a dopiero potem przekształcaj.
Zapomnienie o dziedzinie przy składaniu. W (f∘g)(x) = 1 przez x² + 1 liczba x = 0 jest wykluczona, bo g(0) nie istnieje.
Miejscem zerowym funkcji f(x) = x − 1 przez x + 2 jest
Ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem (x = 1), a mianownik wtedy wynosi 3 ≠ 0.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Funkcja (ax + b)/(cx + d): wydzielanie całości, monotoniczność, złożenie
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Gdy mianownik jest częścią wyrażenia, najpierw zapisz dziedzinę, a dopiero potem przekształcaj.
- (g∘f)(x) = g(f(x)): najpierw f, potem g. Dziedzina: te x z dziedziny f, dla których f(x) należy do dziedziny g.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Funkcja x − 1 przez x + 2 po wydzieleniu całości to
- A1 − 3 przez x + 2
- B−3 przez x + 2
- C1 + 3 przez x + 2
- D1 − 1 przez x + 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 1 − 3 przez x + 2 – (x + 2) − 3 przez x + 2 = 1 − 3 przez x + 2.
Asymptotami wykresu y = 2x + 1 przez x − 3 są proste
- Ax = 3 i y = 2
- Bx = 2 i y = 3
- Cx = −3 i y = 2
- Dx = 3 i y = 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: x = 3 i y = 2 – 2x + 1 przez x − 3 = 2 + 7 przez x − 3, więc p = 3, q = 2.
Zbiorem wartości funkcji f(x) = x − 1 przez x + 2 jest
- AR \ {−2}
- BR \ {0}
- CR \ {1}
- DR
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: R \ {1} – Po wydzieleniu całości q = 1, a ułamek 3 przez x + 2 nigdy nie jest zerem.
Miejscem zerowym funkcji f(x) = x − 1 przez x + 2 jest
- Ax = −1
- Bf nie ma miejsc zerowych
- Cx = −2
- Dx = 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: x = 1 – Ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem (x = 1), a mianownik wtedy wynosi 3 ≠ 0.
W dowodzie monotoniczności f(x) = x − 1 przez x + 2 w (−∞, −2) różnica f(x₁) − f(x₂) = 3(x₁ − x₂) przez (x₁ + 2)(x₂ + 2) jest ujemna, bo
- Alicznik jest dodatni, a mianownik ujemny
- Blicznik jest ujemny, a mianownik dodatni
- Clicznik i mianownik są dodatnie
- Dlicznik i mianownik są ujemne
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: licznik jest ujemny, a mianownik dodatni – x₁ < x₂, więc x₁ − x₂ < 0, a dla x < −2 oba czynniki x + 2 są ujemne, więc ich iloczyn jest dodatni.
Dla f(x) = x² + 1 i g(x) = 1 przez x złożenie (g∘f)(x) wynosi
- A1 przez x + x²
- B1 przez x² + 1
- C1 przez x² + 1
- Dx² + 1 przez x
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 1 przez x² + 1 – (g∘f)(x) = g(f(x)): do g wstawiamy wartość f(x) = x² + 1.
Dziedziną funkcji (f∘g)(x) = 1 przez x² + 1 (gdzie g(x) = 1 przez x) jest
- AR \ {1}
- BR \ {0}
- CR
- D(0, +∞)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: R \ {0} – Funkcja g(x) = 1 przez x nie istnieje dla x = 0.
Funkcja f(x) = 2x + 4 przez x + 2
- Ajest hiperbolą z asymptotą x = 2
- Bnie ma dziedziny
- Cjest hiperbolą z asymptotą y = 2
- Djest stała i równa 2 dla x ≠ −2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: jest stała i równa 2 dla x ≠ −2 – Tu ad − bc = 2 · 2 − 4 · 1 = 0, a 2(x + 2) przez x + 2 = 2 dla x ≠ −2.
Cały dział „Funkcje wymierne”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.