Kąt środkowy i kąt wpisany

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Wielokąty, koło i okrągklasa 8 · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/sp/8/matematyka/kat-srodkowy-i-kat-wpisany/

Kąt środkowy ma wierzchołek w środku koła, a wpisany – na okręgu. Ten drugi jest dwa razy mniejszy. Temat dodatkowy.

1Kąt środkowy

Ma wierzchołek w środku okręgu O. Ramiona idą do punktów A i B na okręgu.
Mówimy, że „opiera się na łuku AB” – czyli na kawałku okręgu między A i B.
Pół okręgu to kąt 180°, cały okrąg – 360°.

2Wycinek – kawałek pizzy

Kąt środkowy α wycina z koła kawałek. Ten kawałek to α przez 360° całego koła.
α – kąt środkowy w stopniach.

60° to ⅙ z 360°, więc wycinek to ⅙ koła

Tak samo łuk: to α przez 360° długości okręgu.

Sprawdź, czy rozumiesz

Gdzie leży wierzchołek kąta środkowego?

3Przykład krok po kroku

Zadanie: oblicz pole wycinka koła o promieniu 6 cm i kącie środkowym 60°.
Krok 1 – pole całego koła: π · 6² = 36π cm².
Krok 2 – jaka to część koła: 60° przez 360° = 1 przez 6.
Krok 3 – pole wycinka: 1 przez 6 · 36π = 6π.
Odpowiedź: 6π cm² (≈ 18,8 cm²).

4Kąt wpisany

Ma wierzchołek na okręgu C. Ramiona też idą do punktów A i B na okręgu.

Zapamiętaj

kąt środkowy = 2 · kąt wpisany (gdy oba opierają się na tym samym łuku)

Kąt środkowy α jest dwa razy większy od wpisanego β

Kąt środkowy ma 100°? Wpisany na tym samym łuku ma 50°.
Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
Kąt wpisany oparty na średnicy (półokręgu) jest prosty, bo 180° : 2 = 90°.

Uwaga na błąd

Odwrócenie zależności. To kąt środkowy jest dwa razy większy, a nie wpisany.

Sprawdź, czy rozumiesz

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku

✎Ściąga: Kąt środkowy i kąt wpisany

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

kąt środkowy = 2 · kąt wpisany (gdy oba opierają się na tym samym łuku)

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

Kąt środkowy ma 80°. Kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma
1. A80°
2. B160°
3. C40°
4. D100°
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 40° – Kąt wpisany to połowa kąta środkowego.
Kąt wpisany ma 35°. Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma
1. A145°
2. B17,5°
3. C35°
4. D70°
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 70° – Kąt środkowy jest dwa razy większy.
Kąt wpisany oparty na średnicy ma
1. A90°
2. B45°
3. C180°
4. D60°
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 90° – Kąt środkowy oparty na półokręgu ma 180°, więc wpisany 90°.
Gdzie leży wierzchołek kąta środkowego?
1. Aw środku okręgu
2. Bna średnicy, ale nie w środku
3. Cpoza okręgiem
4. Dna okręgu
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: w środku okręgu – Stąd nazwa „środkowy”.
Kąty wpisane oparte na tym samym łuku
1. Asą równe
2. Bsumują się do 180°
3. Cróżnią się o 90°
4. Dsą zawsze proste
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: są równe – Każdy z nich to połowa tego samego kąta środkowego.
Pole wycinka koła o promieniu 3 cm i kącie środkowym 120° wynosi
1. A3π cm²
2. B9π cm²
3. C6π cm²
4. Dπ cm²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 3π cm² – 120 przez 360 · 9π = 3π.
Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg, a AB jest średnicą. Kąt ACB ma
1. A45°
2. B60°
3. C90°
4. D180°
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 90° – Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.
Długość łuku okręgu o promieniu 6 cm wyznaczonego przez kąt środkowy 90° to
1. A9π cm
2. B3π cm
3. C12π cm
4. D6π cm
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 3π cm – 90° przez 360° · 2π · 6 = 1 przez 4 · 12π = 3π.

Cały dział „Wielokąty, koło i okrąg”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytań Fiszki · 8 🔊 Posłuchaj notatki