Liczby wymierne i niewymierne

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Liczby i działaniaklasa 8 · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/sp/8/matematyka/liczby-wymierne-i-niewymierne/

Które liczby da się zapisać jako ułamek, a które nie? Do tego liczby przeciwne, odwrotne i wartość bezwzględna.

1Liczby wymierne – da się je zapisać ułamkiem

Liczba wymierna to każda liczba, którą zapiszesz jako ułamek a przez b.
a i b to liczby całkowite, a b ≠ 0 (przez zero nie dzielimy).
Przykłady: 5 = 5 przez 1, −⁠0,3 = −⁠3 przez 10, 11 przez 2 = 3 przez 2.
Ułamek zamieniasz na dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik. Wynik bywa skończony: 1 przez 4 = 0,25.
Albo nieskończony okresowy – jakaś cyfra powtarza się bez końca: 1 przez 3 = 0,333… Krócej: 0,(3). To, co w nawiasie, to okres.

Liczby wymierne na osi liczbowej

2Liczby niewymierne – ułamkiem się nie da

Mają nieskończenie wiele cyfr po przecinku i nic się nie powtarza: pierwiastek z 2 = 1,4142…, π = 3,1415…
Pierwiastek z liczby naturalnej, która nie jest kwadratem liczby naturalnej, jest niewymierny: pierwiastek z 3, pierwiastek z 10. Ale pierwiastek z 49 = 7 jest wymierny.

Sprawdź, czy rozumiesz

Które zdanie jest prawdziwe?

3Przeciwna, odwrotna, wartość bezwzględna

Przeciwna: zmieniasz znak. 5 i −⁠5. Razem dają 0.
Odwrotna: odwracasz ułamek. 2 przez 3 i 3 przez 2. Pomnożone dają 1. Zero nie ma odwrotności.
Wartość bezwzględna |a| to odległość liczby a od zera na osi. Odległość nie bywa ujemna: |5| = 5, |−⁠5| = 5.

−⁠3 i 3 są tak samo daleko od zera, więc |−⁠3| = |3| = 3

Zapamiętaj

|a| = a, gdy a ≥ 0; |a| = −⁠a, gdy a < 0 (czyli po prostu usuwasz minus)

4Przykład krok po kroku

Zadanie: ustaw rosnąco liczby pierwiastek z 2, 1,(4) i 7 przez 5.
Krok 1: zamieniam wszystko na ułamki dziesiętne. 7 przez 5 = 1,4.
Krok 2: pierwiastek z 2 = 1,414…, a 1,(4) = 1,444…
Krok 3: porównuję cyfra po cyfrze: 1,400 < 1,414… < 1,444…
Odpowiedź: 7 przez 5 < pierwiastek z 2 < 1,(4).

Uwaga na błąd

~~„Odwrotna do 3 to −⁠3”~~

Nie – odwrotna to 1 przez 3. Liczba −⁠3 jest przeciwna do 3.

Sprawdź, czy rozumiesz

Liczbą odwrotną do −⁠4 przez 5 jest

✎Ściąga: Liczby wymierne i niewymierne

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

|a| = a, gdy a ≥ 0; |a| = −⁠a, gdy a < 0 (czyli po prostu usuwasz minus)
Liczba wymierna to każda liczba, którą zapiszesz jako ułamek a przez b.
Przeciwna: zmieniasz znak. 5 i −⁠5. Razem dają 0.
Odwrotna: odwracasz ułamek. 2 przez 3 i 3 przez 2. Pomnożone dają 1. Zero nie ma odwrotności.
Wartość bezwzględna |a| to odległość liczby a od zera na osi. Odległość nie bywa ujemna: |5| = 5, |−⁠5| = 5.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

Która liczba jest niewymierna?
1. A7 przez 3
2. B0,(7)
3. Cpierwiastek z 36
4. Dpierwiastek z 7
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: pierwiastek z 7 – 7 nie jest kwadratem liczby naturalnej, więc pierwiastek z 7 jest niewymierny; 0,(7) to ułamek okresowy, czyli liczba wymierna.
Rozwinięcie dziesiętne liczby 2 przez 9 to
1. A0,2
2. B0,22
3. C0,(2)
4. D0,(29)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 0,(2) – 2 : 9 = 0,222…, więc okresem jest 2.
Liczbą odwrotną do −⁠4 przez 5 jest
1. A4 przez 5
2. B−⁠5 przez 4
3. C−⁠4 przez 5
4. D5 przez 4
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: −⁠5 przez 4 – Iloczyn liczb odwrotnych to 1: (−⁠4 przez 5) · (−⁠5 przez 4) = 1.
Ile wynosi |−⁠7| − |3|?
1. A−⁠4
2. B−⁠10
3. C10
4. D4
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 4 – |−⁠7| = 7, |3| = 3, więc 7 − 3 = 4.
Która liczba ma rozwinięcie dziesiętne skończone?
1. A1 przez 6
2. B5 przez 7
3. C2 przez 3
4. D3 przez 8
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 3 przez 8 – 3 przez 8 = 0,375; pozostałe dają rozwinięcia nieskończone okresowe.
Liczbą przeciwną do −⁠2,5 jest
1. A−⁠0,4
2. B2,5
3. C0,4
4. D−⁠2,5
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 2,5 – Liczby przeciwne mają sumę 0: −⁠2,5 + 2,5 = 0.
Która liczba jest wymierna?
1. Apierwiastek z 9 przez 16
2. Bpierwiastek z 2
3. Cpierwiastek z 12
4. Dπ
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: pierwiastek z 9 przez 16 – pierwiastek z 9 przez 16 = 3 przez 4, czyli ułamek zwykły.
Które zdanie jest prawdziwe?
1. AZero ma odwrotność.
2. BKażda liczba całkowita jest wymierna.
3. CKażda liczba wymierna jest całkowita.
4. DLiczba 0,(3) jest niewymierna.
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: Każda liczba całkowita jest wymierna. – Liczbę całkowitą n zapiszemy jako n przez 1; 0,(3) = 1 przez 3, a zero nie ma odwrotności.

Cały dział „Liczby i działania”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytań Fiszki · 10 🔊 Posłuchaj notatki