1Czym jest dowód?
- Sprawdzenie na trzech przykładach to za mało. Dowód pokazuje, że coś działa dla każdej liczby czy figury.
- Twierdzenie ma dwie części: założenie – co wiesz, i tezę – co masz pokazać.
- „Jeśli liczba dzieli się przez 6, to dzieli się przez 3.” Założenie: dzieli się przez 6. Teza: dzieli się przez 3.
2Dowód wprost krok po kroku
- Zaczynasz od tego, co wiesz, i krok po kroku dochodzisz do tezy.
- Krok 1 – założenie zapisane literami: n = 6k, gdzie k to liczba całkowita.
- Krok 2 – przekształcenie: 6k = 3 · 2k.
- Krok 3 – wniosek: n to 3 razy liczba całkowita 2k, więc dzieli się przez 3. Co należało wykazać.
3Kontrprzykład
- Chcesz pokazać, że coś jest fałszem? Wystarczy jeden przykład, który nie pasuje.
- „Każda liczba pierwsza jest nieparzysta.” Fałsz! 2 jest pierwsza i parzysta.
- Zapamiętaj różnicę: przykłady nie udowodnią prawdy, ale jeden kontrprzykład obali fałsz.
Kontrprzykładem do zdania „każda liczba podzielna przez 2 dzieli się przez 4” jest
6 dzieli się przez 2, ale nie przez 4.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
4Dowód nie wprost (sposób dodatkowy)
- Zakładasz, że teza jest fałszywa, i pokazujesz, że wychodzi sprzeczność. W liceum tak udowodnisz, że pierwiastek z 2 jest niewymierny.
5Jak zapisać dowód?
- Wprowadź litery, np. kolejne liczby to n i n + 1.
- Przy każdym kroku napisz, dlaczego tak jest (wzór, własność, cecha przystawania).
- Na końcu: „co należało wykazać”.
„Dowód” na przykładach: 2 + 4 = 6, 6 + 8 = 14. Trzeba ogólnie: 2k + 2m = 2(k + m), gdzie k i m to dowolne liczby całkowite.
Liczbę parzystą zapisujemy ogólnie jako
Liczba parzysta to wielokrotność 2 (k – liczba całkowita).
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Aby obalić twierdzenie ogólne, wystarczy
- Asprawdzić trzy przykłady
- Bjeden kontrprzykład
- Cnarysować rysunek
- Dprzeprowadzić dowód wprost
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: jeden kontrprzykład – Jeden przypadek, w którym twierdzenie nie zachodzi, pokazuje, że jest fałszywe.
Kontrprzykładem do zdania „suma dwóch liczb niewymiernych jest niewymierna” jest
- Aπ + π = 2π
- Bpierwiastek z 3 + 1
- Cpierwiastek z 2 + pierwiastek z 2 = 2pierwiastek z 2
- Dpierwiastek z 2 + (−pierwiastek z 2) = 0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: pierwiastek z 2 + (−pierwiastek z 2) = 0 – Wynik 0 jest liczbą wymierną.
W twierdzeniu „Jeśli trójkąt jest równoboczny, to ma kąty po 60°” założeniem jest
- Atrójkąt ma kąty po 60°
- Bsuma kątów to 180°
- Ctrójkąt jest prostokątny
- Dtrójkąt jest równoboczny
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: trójkąt jest równoboczny – Założenie to część po „jeśli”.
Dowód wprost polega na
- Asprawdzeniu kilku przykładów
- Bprzejściu od założeń do tezy poprawnymi krokami
- Cznalezieniu kontrprzykładu
- Dzałożeniu, że teza jest fałszywa
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: przejściu od założeń do tezy poprawnymi krokami – To podstawowa metoda dowodzenia.
Liczbę parzystą zapisujemy ogólnie jako
- A2k
- Bk²
- Ck + 2
- D2k + 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2k – Liczba parzysta to wielokrotność 2 (k – liczba całkowita).
Które zdanie jest prawdziwe?
- ATrzy przykłady wystarczą do dowodu.
- BSprawdzenie kilku przykładów nie dowodzi twierdzenia.
- CKontrprzykład dowodzi prawdziwości.
- DDowód nie potrzebuje uzasadnień.
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: Sprawdzenie kilku przykładów nie dowodzi twierdzenia. – Dowód musi dotyczyć wszystkich przypadków.
Kontrprzykładem do zdania „każda liczba podzielna przez 2 dzieli się przez 4” jest
- A16
- B12
- C6
- D8
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 6 – 6 dzieli się przez 2, ale nie przez 4.
Liczbę nieparzystą zapisujemy ogólnie jako
- Ak + 1
- B2k
- C2k + 1
- D3k
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 2k + 1 – Liczba nieparzysta to liczba parzysta zwiększona o 1.
Cały dział „Zadania na dowodzenie”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.