Przykłady zadań na dowodzenie

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Zadania na dowodzenieklasa 8 · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/sp/8/matematyka/przyklady-zadan-na-dowodzenie/

Gotowe przykłady dowodów z liczbami i figurami, które warto umieć powtórzyć.

1Dowody z liczbami

Liczbę parzystą zapisujesz jako 2k, nieparzystą jako 2k + 1. k to dowolna liczba całkowita.
Suma dwóch parzystych jest parzysta: 2k + 2m = 2(k + m). To 2 razy liczba całkowita, więc parzysta. Dwie litery (k i m), bo liczby mogą być różne.
Suma trzech kolejnych liczb dzieli się przez 3 – krok po kroku:
Oznaczenia: n, n + 1, n + 2 (n – pierwsza z liczb, liczba całkowita).
Suma: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3.
Wyłączam 3: 3n + 3 = 3(n + 1), a n + 1 jest liczbą całkowitą.
Wniosek: suma dzieli się przez 3. Co należało wykazać.

Trzy razy n i jeszcze 3 – zawsze wielokrotność 3

Iloczyn dwóch kolejnych liczb jest parzysty: z liczb n i n + 1 jedna zawsze jest parzysta. A parzysta razy cokolwiek daje parzystą.

2Dowody z figurami

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.
Rysujesz wysokość z wierzchołka między ramionami. Powstają dwa trójkąty prostokątne.
Mają równe ramiona i wspólną wysokość, więc z Pitagorasa trzecie boki też są równe.
Cecha bbb: trójkąty są przystające, więc kąty przy podstawie są równe.
W dowodach z figurami powołuj się na: sumę kątów 180°, kąty wierzchołkowe i przyległe, kąty przy prostych równoległych, cechy przystawania.

Sprawdź, czy rozumiesz

Iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest zawsze

3Dodatkowo: nierówność a² + b² ≥ 2ab

a, b – dowolne liczby. Nierówność jest równoważna a² − 2ab + b² ≥ 0, czyli (a − b)² ≥ 0.
Kwadrat liczby nigdy nie jest ujemny, więc to prawda. Równość zachodzi tylko dla a = b.

4Schemat

Zapamiętaj

oznaczenia → zapis literami → przekształcenia z uzasadnieniem → wniosek „co należało wykazać”

Uwaga na błąd

Ta sama litera dla dwóch różnych liczb (2k + 2k). Wtedy pokazujesz tylko przypadek dwóch RÓWNYCH liczb. Używaj 2k i 2m.

Sprawdź, czy rozumiesz

Dlaczego (a − b)² ≥ 0 dla każdych a i b?

✎Ściąga: Przykłady zadań na dowodzenie

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

oznaczenia → zapis literami → przekształcenia z uzasadnieniem → wniosek „co należało wykazać”
Suma dwóch parzystych jest parzysta: 2k + 2m = 2(k + m). To 2 razy liczba całkowita, więc parzysta. Dwie litery (k i m), bo liczby mogą być różne.
Suma trzech kolejnych liczb dzieli się przez 3 – krok po kroku:
Iloczyn dwóch kolejnych liczb jest parzysty: z liczb n i n + 1 jedna zawsze jest parzysta. A parzysta razy cokolwiek daje parzystą.
W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

Suma trzech kolejnych liczb naturalnych n + (n + 1) + (n + 2) jest równa
1. A3n
2. B3n + 2
3. Cn + 3
4. D3(n + 1)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 3(n + 1) – n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1).
Suma dwóch liczb parzystych 2k + 2m zapisana jako iloczyn to
1. Ak + m
2. B2km
3. C2(k + m)
4. D4km
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 2(k + m) – Wyłączamy 2 przed nawias.
Suma dwóch liczb nieparzystych (2k + 1) + (2m + 1) jest
1. Apierwsza
2. Bpodzielna przez 4
3. Cparzysta
4. Dnieparzysta
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: parzysta – 2k + 2m + 2 = 2(k + m + 1).
Wyrażenie a² − 2ab + b² jest równe
1. Aa² − b²
2. B2(a − b)
3. C(a + b)²
4. D(a − b)²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: (a − b)² – (a − b)(a − b) = a² − ab − ab + b².
Dlaczego (a − b)² ≥ 0 dla każdych a i b?
1. AKwadrat liczby nie jest ujemny.
2. BBo a i b są dodatnie.
3. CBo a > b.
4. DBo różnica jest zawsze dodatnia.
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: Kwadrat liczby nie jest ujemny. – Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.
Na którą cechę przystawania powołamy się, gdy trójkąty mają równe wszystkie trzy boki?
1. Abbb
2. Bbkb
3. Ckkk
4. Dkbk
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: bbb – bbb – trzy pary równych boków.
Iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest zawsze
1. Aparzysty
2. Bnieparzysty
3. Cliczbą pierwszą
4. Dpodzielny przez 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: parzysty – Jedna z dwóch kolejnych liczb jest parzysta.
Dlaczego w dowodzie o sumie dwóch liczb parzystych używamy 2k i 2m, a nie 2k i 2k?
1. ABo k musi być większe od m.
2. BBo tak jest krócej.
3. CNie ma to znaczenia.
4. DBo liczby mogą być różne.
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: Bo liczby mogą być różne. – Zapis 2k i 2k obejmowałby tylko dwie równe liczby.

Cały dział „Zadania na dowodzenie”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytań Fiszki · 8 🔊 Posłuchaj notatki