Moment bezwładności i dynamika ruchu obrotowego

ogarniam.edu.pl · Fizyka · Ruch postępowy i obrotowy bryły sztywnejklasa 1 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/1/fizyka/moment-bezwladnosci-i-dynamika-ruchu-obrotowego/

Ciężej rozkręcić kołowrotek z ciężarkami na brzegu niż taki sam z ciężarkami przy osi. Masa to nie wszystko, liczy się też, jak daleko od osi jest rozłożona.

1Moment bezwładności

Oznaczenia: I – moment bezwładności względem danej osi [kg·m²]; m_i – masa i-tej części [kg]; r_i – jej odległość od osi [m].

Zapamiętaj

I = Σ m_i · r_i². Masa daleko od osi liczy się mocniej.

Moment bezwładności wybranych brył względem osi symetrii (m – masa, r – promień, l – długość)

Przykład 1. Dane: dwa odważniki po 1 kg na końcach lekkiego pręta, każdy 0,5 m od osi. Obliczenia: I = 2 · 1 · 0,5² kg·m² = 0,5 kg·m². Odpowiedź: 0,5 kg·m².

2II zasada dynamiki i moment pędu

Oznaczenia: M – wypadkowy moment sił [N·m]; ε – przyspieszenie kątowe [rad/s²]; L – moment pędu [kg·m²/s]; ω – prędkość kątowa [rad/s]; v – prędkość punktu [m/s]; r – jego odległość od osi [m].

Zapamiętaj

M = I · ε oraz L = I · ω. Dla punktu materialnego na okręgu L = m · v · r.

ruch postępowy	ruch obrotowy
masa m	moment bezwładności I
F = m·a	M = I·ε
pęd p = m·v	moment pędu L = I·ω

Przykład 2. Dane: walec pełny m = 2 kg, r = 0,1 m, M = 0,05 N·m. Wzór: I = ½ m r², ε = M przez I. Obliczenia: I = ½ · 2 · 0,1² kg·m² = 0,01 kg·m²; ε = 0,05 przez 0,01 rad/s² = 5 rad/s². Odpowiedź: ε = 5 rad/s².

Sprawdź, czy rozumiesz

Wzór na moment bezwładności układu punktów względem osi to

3Zasada zachowania momentu pędu

Zapamiętaj

Gdy wypadkowy moment sił zewnętrznych jest zerowy: L = const, czyli I₁ · ω₁ = I₂ · ω₂.

Przykład 3. Łyżwiarka kręci się z ω₁ = 2 rad/s przy I₁ = 4 kg·m², przyciąga ręce i I₂ = 2 kg·m². Obliczenia: ω₂ = I₁ · ω₁ przez I₂ = 4 · 2 przez 2 rad/s = 4 rad/s. Odpowiedź: obraca się dwa razy szybciej.
Tak samo przyspiesza osoba na krześle obrotowym, przyciągając hantle. Energia kinetyczna przy tym rośnie, bo mięśnie wykonują pracę.

4Doświadczenie: bloczek

Obciążnik m na nitce nawiniętej na bloczek o promieniu r opada z wysokości h w czasie t.
Opracowanie (a – przyspieszenie obciążnika): a = 2h przez t², ε = a przez r, naciąg nitki N = m · (g − a), M = N · r, I = M przez ε.
Przykład 4. Dane: m = 0,1 kg, r = 0,05 m, h = 2,0 m, t = 1,2 s, g = 9,81 m/s². Obliczenia: a ≈ 2,78 m/s²; ε ≈ 55,6 rad/s²; N = 0,1 · (9,81 − 2,78) N ≈ 0,70 N; M ≈ 0,035 N·m; I = 0,035 przez 55,6 kg·m² ≈ 6,3·10^−⁠4 kg·m².

Uwaga na błąd

Przenoszenie wzoru z tabeli na inną oś. Wartość I zawsze dotyczy konkretnej osi.

Sprawdź, czy rozumiesz

Które zdanie o łyżwiarce przyciągającej ręce jest prawdziwe?

✎Ściąga: Moment bezwładności i dynamika ruchu obrotowego

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

I = Σ m_i · r_i². Masa daleko od osi liczy się mocniej.
M = I · ε oraz L = I · ω. Dla punktu materialnego na okręgu L = m · v · r.
Gdy wypadkowy moment sił zewnętrznych jest zerowy: L = const, czyli I₁ · ω₁ = I₂ · ω₂.
Oznaczenia: I – moment bezwładności względem danej osi [kg·m²]; m_i – masa i-tej części [kg]; r_i – jej odległość od osi [m].
Przykład 1. Dane: dwa odważniki po 1 kg na końcach lekkiego pręta, każdy 0,5 m od osi. Obliczenia: I = 2 · 1 · 0,5² kg·m² = 0,5 kg·m². Odpowiedź: 0,5 kg·m².
Oznaczenia: M – wypadkowy moment sił [N·m]; ε – przyspieszenie kątowe [rad/s²]; L – moment pędu [kg·m²/s]; ω – prędkość kątowa [rad/s]; v – prędkość punktu [m/s]; r – jego odległość od osi [m].
Przykład 2. Dane: walec pełny m = 2 kg, r = 0,1 m, M = 0,05 N·m. Wzór: I = ½ m r², ε = M przez I. Obliczenia: I = ½ · 2 · 0,1² kg·m² = 0,01 kg·m²; ε = 0,05 przez 0,01 rad/s² = 5 rad/s². Odpowiedź: ε = 5 rad/s².
Przykład 3. Łyżwiarka kręci się z ω₁ = 2 rad/s przy I₁ = 4 kg·m², przyciąga ręce i I₂ = 2 kg·m². Obliczenia: ω₂ = I₁ · ω₁ przez I₂ = 4 · 2 przez 2 rad/s = 4 rad/s. Odpowiedź: obraca się dwa razy szybciej.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

Wzór na moment bezwładności układu punktów względem osi to
1. AI = Σ F_i r_i
2. BI = Σ m_i v_i
3. CI = Σ m_i r_i²
4. DI = Σ m_i r_i
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: I = Σ m_i r_i² – Każda masa liczy się z kwadratem odległości od osi.
Jaka jest jednostka momentu bezwładności?
1. AN·m
2. Bkg·m/s
3. Ckg/m²
4. Dkg·m²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: kg·m² – I = m · r², więc jednostką jest kilogram razy metr kwadratowy.
Dwa odważniki po 1 kg są 0,5 m od osi (lekki pręt). Ile wynosi I?
1. A1,0 kg·m²
2. B0,25 kg·m²
3. C2,0 kg·m²
4. D0,5 kg·m²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 0,5 kg·m² – I = 2 · 1 · 0,5² kg·m² = 0,5 kg·m².
Moment bezwładności jednorodnej pełnej kuli względem osi przez środek wynosi
1. Am r²
2. B(2/5) m r²
3. C(1/12) m r²
4. D(1/2) m r²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: (2/5) m r² – Dla kuli I = 2/5 · m r², dla walca 1/2 · m r², dla obręczy m r².
Jak brzmi II zasada dynamiki ruchu obrotowego?
1. AM = I · ε
2. BM = m · a
3. CF = I · ε
4. DM = I · ω
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: M = I · ε – Wypadkowy moment siły = moment bezwładności razy przyspieszenie kątowe.
Walec ma I = 0,01 kg·m². Działa na niego moment 0,05 N·m. Jakie jest przyspieszenie kątowe?
1. A0,0005 rad/s²
2. B5 rad/s²
3. C50 rad/s²
4. D0,5 rad/s²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 5 rad/s² – ε = M / I = 0,05 / 0,01 rad/s² = 5 rad/s².
Łyżwiarka obraca się z ω = 2 rad/s przy I = 4 kg·m². Jak szybko wiruje po zmniejszeniu I do 2 kg·m²?
1. A2 rad/s
2. B1 rad/s
3. C4 rad/s
4. D8 rad/s
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 4 rad/s – I₁ω₁ = I₂ω₂, więc ω₂ = 4 · 2 / 2 rad/s = 4 rad/s.
Które zdanie o łyżwiarce przyciągającej ręce jest prawdziwe?
1. AJej moment pędu rośnie
2. BJej moment pędu jest stały, a energia kinetyczna rośnie
3. CJej prędkość kątowa maleje
4. DJej energia kinetyczna jest stała
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: Jej moment pędu jest stały, a energia kinetyczna rośnie – Zachowany jest moment pędu (brak zewnętrznego momentu sił), a mięśnie wykonują pracę, więc energia rośnie.

Cały dział „Ruch postępowy i obrotowy bryły sztywnej”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytań Fiszki · 10 🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Fizyka, klasa 1

Badania w fizyce Pomiary i niepewność pomiarowa Niepewności pomiarowe i dopasowanie prostej Wielkości wektorowe i skalarne Analiza danych i wykresy Narzędzia matematyczne w fizyce Rachunek wektorowy i trygonometria Podstawowe pojęcia kinematyki Prędkość Równanie ruchu i ruch względny Przyspieszenie Ruch jednostajny prostoliniowy Ruch prostoliniowy zmienny Ruch zmienny – wykresy a(t), zadania i przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym Ruch po okręgu Prędkość kątowa i ruch po okręgu ze zmienną prędkością Rzut poziomy i rzut ukośny Doświadczenia z kinematyki Siła i jej cechy Rodzaje sił Układy nieinercjalne i siły bezwładności Zasady dynamiki Newtona Tarcie Równia pochyła i zadania z tarciem Siła dośrodkowa Dynamika ruchu po okręgu Doświadczenia z dynamiki Praca mechaniczna Moc Energia mechaniczna i jej zasada zachowania Praca siły zmiennej, twierdzenie o pracy i energii Moc w ruchu i sprawność urządzeń Pęd, zasada zachowania pędu i zderzenia Doświadczenia: praca, moc, energia Ciśnienie Siła wyporu i prawo Archimedesa Ciśnienie całkowite, naczynia połączone i pływanie ciał Doświadczenia z hydrostatyki Prawo powszechnego ciążenia Przyspieszenie grawitacyjne i prawa Keplera Układ Słoneczny, Galaktyka i Wszechświat Prędkości kosmiczne i ruch satelitów Satelity, nieważkość i przeciążenie Bryła sztywna i moment siły Energia kinetyczna ruchu obrotowego Planowanie doświadczeń Przeprowadzanie pomiarów Analiza wyników Wybrane doświadczenia w klasie 1 Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego wahadłem