ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Fizyka · Wymagania przekrojoweklasa 1 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/1/fizyka/rachunek-wektorowy-i-trygonometria/

Fizyka · Wymagania przekrojowe · kl. 1 · zakres rozszerzony

Rachunek wektorowy i trygonometria

Na rozszerzeniu wektory nie tylko dodajesz, ale też odejmujesz, mnożysz przez liczbę i rozkładasz na składowe. To podstawa zadań z równią i rzutami.

ok. 4 min czytania10 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Odejmowanie i mnożenie przez liczbę

ab−ba − ba − b = a + (−b)−b: ta sama długość,przeciwny zwrot
Różnica wektorów jako suma z wektorem przeciwnym
Zapamiętaj

a − b = a + (−⁠b). Wektor −⁠b ma tę samą wartość i kierunek co b, ale przeciwny zwrot.

  • Mnożenie przez liczbę k: wartość rośnie |k| razy, kierunek jest ten sam, a zwrot zachowuje się dla k > 0 i odwraca dla k < 0.

2Składowe wektora

  • Rozkład graficzny: przez początek i koniec wektora prowadzisz proste równoległe do zadanych kierunków. Boki powstałego równoległoboku to składowe.
xyαFxFyF
Rozkład siły F na składowe Fx = F · cos α i Fy = F · sin α
  • Oznaczenia: F – wartość siły [N]; Fx, Fy – jej składowe wzdłuż osi x i y [N]; α – kąt między siłą a osią x; ax, ay – składowe wektora a.
Zapamiętaj

Fx = F · cos α, Fy = F · sin α. Wartość wektora z jego składowych: a = pierwiastek z ax2 + ay2.

  • Wektory dodajesz składowymi (osobno x, osobno y).
  • Przykład. F = 10 N, α = 30°: Fx = 10 N · pierwiastek z 3 przez 2 ≈ 8,7 N; Fy = 10 N · 1 przez 2 = 5 N.
Sprawdź, czy rozumiesz

Co dzieje się z wektorem po pomnożeniu przez liczbę k = −⁠2?

3Okrąg jednostkowy i iloczyny (dodatek)

xyαcos α < 0sin α > 01(cos α, sin α)= (−1/2, √3/2)
Punkt na okręgu jednostkowym ma współrzędne (cos α, sin α)
  • Punkt na okręgu o promieniu 1, odmierzony kątem α od dodatniej półosi x, ma współrzędne (cos α, sin α). W II ćwiartce cosinus jest ujemny: cos 120° = −⁠1 przez 2, sin 120° = pierwiastek z 3 przez 2.
  • Iloczyn skalarny wektorów a i b to liczba a · b · cos α (a, b – wartości wektorów, α – kąt między nimi). Dla wektorów prostopadłych jest zerem (siła prostopadła do przemieszczenia nie wykonuje pracy). Iloczyn wektorowy to wektor prostopadły do obu czynników o wartości a · b · sin α, zwrot z reguły prawej dłoni.

4Równanie kwadratowe w ruchu

  • Przykład. Dane: piłka rzucona pionowo w górę z v0 = 20 m/s, g = 10 m/s²; kiedy jest na wysokości h = 15 m?
  • Wzór: h = v0 · t − g · t2 przez 2.
  • Obliczenia: 15 = 20t − 5t2, czyli t2 − 4t + 3 = 0; Δ = 16 − 12 = 4; t = 4 ± 2 przez 2.
  • Odpowiedź: t₁ = 1 s (lecąc w górę) i t₂ = 3 s (spadając); oba wyniki mają sens.
Uwaga na błąd

Zamiana sinusa z cosinusem we wzorach na składowe. Kąt mierzony od osi x daje Fx = F · cos α, ale kąt mierzony od osi y odwraca role.

Sprawdź, czy rozumiesz

Piłkę rzucono w górę z v0 = 20 m/s (g = 10 m/s²). Kiedy jest na wysokości 15 m?

✎Ściąga: Rachunek wektorowy i trygonometria

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • a − b = a + (−⁠b). Wektor −⁠b ma tę samą wartość i kierunek co b, ale przeciwny zwrot.
  • Fx = F · cos α, Fy = F · sin α. Wartość wektora z jego składowych: a = pierwiastek z ax2 + ay2.
  • Mnożenie przez liczbę k: wartość rośnie |k| razy, kierunek jest ten sam, a zwrot zachowuje się dla k > 0 i odwraca dla k < 0.
  • Rozkład graficzny: przez początek i koniec wektora prowadzisz proste równoległe do zadanych kierunków. Boki powstałego równoległoboku to składowe.
  • Oznaczenia: F – wartość siły [N]; Fx, Fy – jej składowe wzdłuż osi x i y [N]; α – kąt między siłą a osią x; ax, ay – składowe wektora a.
  • Przykład. F = 10 N, α = 30°: Fx = 10 N · pierwiastek z 3 przez 2 ≈ 8,7 N; Fy = 10 N · 1 przez 2 = 5 N.
  • Iloczyn skalarny wektorów a i b to liczba a · b · cos α (a, b – wartości wektorów, α – kąt między nimi). Dla wektorów prostopadłych jest zerem (siła prostopadła do przemieszczenia nie wykonuje pracy). Iloczyn wektorowy to wektor prostopadły do obu czynników o wartości a · b · sin α, zwrot z reguły prawej dłoni.
  • Przykład. Dane: piłka rzucona pionowo w górę z v0 = 20 m/s, g = 10 m/s²; kiedy jest na wysokości h = 15 m?

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Jak odejmujesz wektory a − b?

    1. AMnożysz a przez b
    2. BOdejmujesz wartości, kierunki zostawiasz
    3. CDodajesz a do b i zmieniasz zwrot sumy
    4. DDodajesz do a wektor przeciwny do b
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: Dodajesz do a wektor przeciwny do b – a − b = a + (−⁠b), a wektor −⁠b ma przeciwny zwrot niż b.

  2. Siła 10 N działa pod kątem 30° do osi x. Ile wynosi składowa Fy?

    1. A5 N
    2. B0 N
    3. C10 N
    4. D8,7 N
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 5 N – Fy = F · sin 30° = 10 N · 0,5 = 5 N, a 8,7 N to składowa Fx.

  3. Składowe wektora wynoszą ax = 3 i ay = 4. Ile wynosi jego wartość?

    1. A7
    2. B1
    3. C12
    4. D5
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 5 – a = pierwiastek z 32 + 42 = 5.

  4. Co dzieje się z wektorem po pomnożeniu przez liczbę k = −⁠2?

    1. AJest dwa razy dłuższy i ma przeciwny zwrot
    2. BZmienia kierunek o 90°
    3. CJest dwa razy krótszy i ma przeciwny zwrot
    4. DJest dwa razy dłuższy i ma ten sam zwrot
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: Jest dwa razy dłuższy i ma przeciwny zwrot – Wartość rośnie |k| = 2 razy, a ujemne k odwraca zwrot.

  5. Ile wynosi iloczyn skalarny dwóch wektorów prostopadłych?

    1. A0
    2. Biloczyn ich wartości
    3. C−⁠1
    4. D1
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 0 – a · b · cos 90° = 0, dlatego siła prostopadła do przemieszczenia nie wykonuje pracy.

  6. Ile wynosi cos 120°?

    1. A1/2
    2. B−⁠√3/2
    3. C−⁠1/2
    4. D√3/2
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: −⁠1/2 – W II ćwiartce cosinus jest ujemny: cos(180° − 60°) = −⁠cos 60° = −⁠1/2.

  7. Piłkę rzucono w górę z v0 = 20 m/s (g = 10 m/s²). Kiedy jest na wysokości 15 m?

    1. Atylko po 3 s
    2. Bpo 1 s i po 3 s
    3. Cpo 2 s
    4. Dtylko po 1 s
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: po 1 s i po 3 s – Z równania t2 − 4t + 3 = 0 wychodzą t = 1 s (w górę) i t = 3 s (w dół), oba sensowne.

  8. Co wyznacza iloczyn wektorowy a × b?

    1. AWektor prostopadły do a i b o wartości a · b · sin α
    2. BWektor równoległy do a
    3. CLiczbę równą a · b · cos α
    4. DWektor o wartości a + b
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: Wektor prostopadły do a i b o wartości a · b · sin α – Iloczyn wektorowy daje wektor prostopadły do obu czynników, a wartość z cosinusem ma iloczyn skalarny.

Cały dział „Wymagania przekrojowe”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 10🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Fizyka, klasa 1

Badania w fizycePomiary i niepewność pomiarowaNiepewności pomiarowe i dopasowanie prostejWielkości wektorowe i skalarneAnaliza danych i wykresyNarzędzia matematyczne w fizycePodstawowe pojęcia kinematykiPrędkośćRównanie ruchu i ruch względnyPrzyspieszenieRuch jednostajny prostoliniowyRuch prostoliniowy zmiennyRuch zmienny – wykresy a(t), zadania i przyspieszenie w ruchu krzywoliniowymRuch po okręguPrędkość kątowa i ruch po okręgu ze zmienną prędkościąRzut poziomy i rzut ukośnyDoświadczenia z kinematykiSiła i jej cechyRodzaje siłUkłady nieinercjalne i siły bezwładnościZasady dynamiki NewtonaTarcieRównia pochyła i zadania z tarciemSiła dośrodkowaDynamika ruchu po okręguDoświadczenia z dynamikiPraca mechanicznaMocEnergia mechaniczna i jej zasada zachowaniaPraca siły zmiennej, twierdzenie o pracy i energiiMoc w ruchu i sprawność urządzeńPęd, zasada zachowania pędu i zderzeniaDoświadczenia: praca, moc, energiaCiśnienieSiła wyporu i prawo ArchimedesaCiśnienie całkowite, naczynia połączone i pływanie ciałDoświadczenia z hydrostatykiPrawo powszechnego ciążeniaPrzyspieszenie grawitacyjne i prawa KepleraUkład Słoneczny, Galaktyka i WszechświatPrędkości kosmiczne i ruch satelitówSatelity, nieważkość i przeciążenieBryła sztywna i moment siłyMoment bezwładności i dynamika ruchu obrotowegoEnergia kinetyczna ruchu obrotowegoPlanowanie doświadczeńPrzeprowadzanie pomiarówAnaliza wynikówWybrane doświadczenia w klasie 1Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego wahadłem