1Prędkość na orbicie
- Oznaczenia: v – szybkość satelity na orbicie kołowej [m/s]; G – stała grawitacji [N·m²/kg²]; M – masa planety [kg]; m – masa satelity [kg]; r – promień orbity, mierzony od środka planety [m]; h – wysokość nad powierzchnią [m]; R – promień planety [m]; T – okres obiegu [s].
- Grawitacja jest siłą dośrodkową: G · M · m przez r2 = m · v2 przez r. Masa satelity m się skraca.
v = pierwiastek z G · M przez r, T = 2π · r przez v. Wyżej (większe r) satelita ma mniejszą szybkość i dłuższy okres.
- Przykład 1. Dane: ISS na wysokości h = 420 km, RZ = 6371 km, MZ = 5,97·1024 kg, G = 6,67·10−11 N·m²/kg². Wzór: r = RZ + h, v = pierwiastek z G · M / r. Obliczenia: r = 6 791 000 m, v ≈ 7,66·103 m/s, T = 2π · 6,791·106 przez 7,66·103 s ≈ 5570 s. Odpowiedź: v ≈ 7,7 km/s, T ≈ 93 min.
2Prędkości kosmiczne
I prędkość kosmiczna (orbita kołowa tuż nad powierzchnią): v₁ = pierwiastek z G · M przez R = pierwiastek z g · R. Dla Ziemi ok. 7,9 km/s.
- Tu g to przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni planety [m/s²]. Sprawdzenie: pierwiastek z 9,81 · 6,37·106 m/s ≈ 7,9·103 m/s.
II prędkość kosmiczna (ucieczki z pola grawitacyjnego planety): v₂ = pierwiastek z 2G · M przez R = pierwiastek z 2 · v₁. Dla Ziemi ok. 11,2 km/s.
- Skąd v₂? Energia kinetyczna ciała musi wystarczyć na oddalenie go „do nieskończoności”: m · v₂2 przez 2 = G · M · m przez R (energię potencjalną grawitacji poznasz dokładniej w klasie II).
- Ciało wystrzelone poziomo z prędkością między v₁ a v₂ krąży po elipsie, a przy v ≥ v₂ ucieka z pola grawitacyjnego planety (pomijamy opór powietrza).
Ciało wystrzelono z powierzchni Ziemi z prędkością 12 km/s (pomijamy opór powietrza). Co się z nim stanie?
12 km/s jest więcej niż 11,2 km/s, więc ciało ucieka z pola grawitacyjnego Ziemi.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Orbita geostacjonarna
- Satelita geostacjonarny obiega Ziemię w ciągu doby gwiazdowej (ok. 23 h 56 min), po orbicie kołowej w płaszczyźnie równika i w kierunku obrotu Ziemi. Dlatego „wisi” nad jednym punktem równika.
- Z III prawa Keplera jego orbita ma promień ok. 42 200 km, czyli leży ok. 35 800 km nad powierzchnią Ziemi.
Wstawianie do wzoru wysokości nad powierzchnią zamiast promienia orbity r = R + h.
✎Ściąga: Prędkości kosmiczne i ruch satelitów
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- v = pierwiastek z G · M przez r, T = 2π · r przez v. Wyżej (większe r) satelita ma mniejszą szybkość i dłuższy okres.
- I prędkość kosmiczna (orbita kołowa tuż nad powierzchnią): v₁ = pierwiastek z G · M przez R = pierwiastek z g · R. Dla Ziemi ok. 7,9 km/s.
- II prędkość kosmiczna (ucieczki z pola grawitacyjnego planety): v₂ = pierwiastek z 2G · M przez R = pierwiastek z 2 · v₁. Dla Ziemi ok. 11,2 km/s.
- Oznaczenia: v – szybkość satelity na orbicie kołowej [m/s]; G – stała grawitacji [N·m²/kg²]; M – masa planety [kg]; m – masa satelity [kg]; r – promień orbity, mierzony od środka planety [m]; h – wysokość nad powierzchnią [m]; R – promień planety [m]; T – okres obiegu [s].
- Przykład 1. Dane: ISS na wysokości h = 420 km, RZ = 6371 km, MZ = 5,97·1024 kg, G = 6,67·10−11 N·m²/kg². Wzór: r = RZ + h, v = pierwiastek z G · M / r. Obliczenia: r = 6 791 000 m, v ≈ 7,66·103 m/s, T = 2π · 6,791·106 przez 7,66·103 s ≈ 5570 s. Odpowiedź: v ≈ 7,7 km/s, T ≈ 93 min.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Jaki wzór opisuje szybkość satelity na orbicie kołowej o promieniu r?
- Av = √(GM / r)
- Bv = GM / r²
- Cv = √(GM · r)
- Dv = GM / r
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: v = √(GM / r) – Z równości siły grawitacji i siły dośrodkowej: GMm/r² = mv²/r.
Jak zmieni się szybkość satelity, gdy przeniesiemy go na wyższą orbitę kołową?
- ASpadnie do zera
- BWzrośnie
- CNie zmieni się
- DZmaleje
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: Zmaleje – v = √(GM/r), więc im większe r, tym mniejsza szybkość. Okres obiegu się wydłuża.
Jak masa satelity wpływa na jego szybkość orbitalną?
- AWcale, bo masa się skraca
- BSzybkość maleje z masą
- CSzybkość jest wprost proporcjonalna do masy
- DSzybkość jest proporcjonalna do kwadratu masy
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: Wcale, bo masa się skraca – Masa m występuje po obu stronach równania sił i skraca się.
Ile wynosi I prędkość kosmiczna dla Ziemi?
- Aok. 3,1 km/s
- Bok. 300 000 km/s
- Cok. 7,9 km/s
- Dok. 11,2 km/s
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: ok. 7,9 km/s – v₁ = √(gR) = √(9,81 · 6,37·10⁶) m/s ≈ 7,9 km/s.
Jaka jest II prędkość kosmiczna dla Ziemi i jaki jest jej związek z I?
- Aok. 11,2 km/s, v₂ = √2 · v₁
- Bok. 7,9 km/s, v₂ = v₁
- Cok. 15,8 km/s, v₂ = 2v₁
- Dok. 5,6 km/s, v₂ = v₁/√2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: ok. 11,2 km/s, v₂ = √2 · v₁ – Prędkość ucieczki to v₂ = √(2GM/R) = √2 · v₁ ≈ 11,2 km/s.
Satelita krąży na wysokości 420 km nad Ziemią o promieniu 6371 km. Jaką wartość r podstawiasz do wzoru na szybkość orbitalną?
- A420 km
- B6791 km
- C5951 km
- D6371 km
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 6791 km – r liczymy od środka planety: r = R + h = 6371 km + 420 km = 6791 km.
Satelita geostacjonarny to taki, który
- Aobiega Ziemię w ciągu doby gwiazdowej nad równikiem i „wisi” nad jednym punktem
- Bkrąży nad biegunami co godzinę
- Cnie podlega grawitacji
- Dstoi nieruchomo w przestrzeni
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: obiega Ziemię w ciągu doby gwiazdowej nad równikiem i „wisi” nad jednym punktem – Jego okres obiegu jest równy okresowi obrotu Ziemi, więc stale znajduje się nad tym samym punktem równika.
Ciało wystrzelono z powierzchni Ziemi z prędkością 12 km/s (pomijamy opór powietrza). Co się z nim stanie?
- ASpadnie z powrotem na Ziemię
- BBędzie krążyć tuż nad powierzchnią po okręgu
- COpuści pole grawitacyjne Ziemi, bo przekracza II prędkość kosmiczną
- DZatrzyma się na orbicie geostacjonarnej
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: Opuści pole grawitacyjne Ziemi, bo przekracza II prędkość kosmiczną – 12 km/s jest więcej niż 11,2 km/s, więc ciało ucieka z pola grawitacyjnego Ziemi.
Cały dział „Grawitacja i elementy astronomii”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.