Prędkość kątowa i ruch po okręgu ze zmienną prędkością

ogarniam.edu.pl · Fizyka · Kinematykaklasa 1 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/1/fizyka/predkosc-katowa-i-ruch-po-okregu-ze-zmienna-predkoscia/

Na rozszerzeniu opisujesz obrót kątem, a nie metrami. Dzięki temu cały talerz gramofonu ma jedną prędkość kątową, choć jego punkty mają różne szybkości.

1Radian i prędkość kątowa

Kąt 1 rad odpowiada łukowi o długości r

Oznaczenia: φ – kąt obrotu, czyli droga kątowa [rad]; l – długość łuku [m]; r – promień [m]; ω – prędkość kątowa [rad/s]; T – okres [s]; f – częstotliwość [Hz]; v – szybkość liniowa [m/s]; a_d – przyspieszenie dośrodkowe [m/s²].
φ = l przez r. Pełny kąt 360° to 2π rad, a 180° to π rad; 1 rad ≈ 57,3°.

Zapamiętaj

ω = Δφ przez Δt = 2π przez T = 2π · f oraz v = ω · r

Punkty jednej sztywnej tarczy mają tę samą ω, ale punkt dalej od osi ma większe v.

Zapamiętaj

a_d = v² przez r = ω² · r = 4π² · f² · r, skierowane do środka okręgu.

Przykład: auto na zakręcie o r = 50 m z v = 10 m/s ma a_d = (10 m/s)² przez 50 m = 2 m/s².

2Przyspieszenie kątowe

Oznaczenia: ε – przyspieszenie kątowe [rad/s²]; Δω – zmiana prędkości kątowej [rad/s]; ω₀ – prędkość kątowa początkowa [rad/s]; a_s – przyspieszenie styczne [m/s²].
ε = Δω przez Δt. Dla stałego ε: ω = ω₀ + ε · t oraz φ = ω₀ · t + ε · t² przez 2. To dokładna analogia do v i s w ruchu po prostej.

Sprawdź, czy rozumiesz

Dwa punkty sztywnej tarczy leżą w różnych odległościach od osi. Co mają takie samo?

3Zmienna szybkość po okręgu

Styczne a_s = ε · r zmienia wartość prędkości. Dośrodkowe a_d = ω² · r zmienia jej kierunek.

Zapamiętaj

a = pierwiastek z a_s² + a_d² (składowe są prostopadłe)

4Przykład

Dane: tarcza o r = 0,1 m rusza z miejsca z ε = 4 rad/s²; szukamy przyspieszenia punktu na brzegu po t = 2 s.
Wzory: ω = ε · t, a_s = ε · r, a_d = ω² · r, a = pierwiastek z a_s² + a_d².
Obliczenia: ω = 4 · 2 rad/s = 8 rad/s; a_s = 4 · 0,1 m/s² = 0,4 m/s²; a_d = 64 · 0,1 m/s² = 6,4 m/s²; a = pierwiastek z 0,16 + 40,96 m/s² ≈ 6,41 m/s².
Odpowiedź: przyspieszenie punktu na brzegu to około 6,4 m/s²; przeważa składowa dośrodkowa.

Uwaga na błąd

Liczenie ω, v lub a_d z kątem w stopniach. We wzorach v = ω · r i a_d = ω² · r kąt musi być w radianach.

Sprawdź, czy rozumiesz

Punkt na brzegu tarczy (r = 0,5 m) ma w pewnej chwili ω = 2 rad/s i ε = 2 rad/s². Ile wynosi jego przyspieszenie?

✎Ściąga: Prędkość kątowa i ruch po okręgu ze zmienną prędkością

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

ω = Δφ przez Δt = 2π przez T = 2π · f oraz v = ω · r
a_d = v² przez r = ω² · r = 4π² · f² · r, skierowane do środka okręgu.
a = pierwiastek z a_s² + a_d² (składowe są prostopadłe)
Oznaczenia: φ – kąt obrotu, czyli droga kątowa [rad]; l – długość łuku [m]; r – promień [m]; ω – prędkość kątowa [rad/s]; T – okres [s]; f – częstotliwość [Hz]; v – szybkość liniowa [m/s]; a_d – przyspieszenie dośrodkowe [m/s²].
Oznaczenia: ε – przyspieszenie kątowe [rad/s²]; Δω – zmiana prędkości kątowej [rad/s]; ω₀ – prędkość kątowa początkowa [rad/s]; a_s – przyspieszenie styczne [m/s²].
Styczne a_s = ε · r zmienia wartość prędkości. Dośrodkowe a_d = ω² · r zmienia jej kierunek.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

Ile radianów ma kąt 180°?
1. Aπ/2
2. B2π
3. C1
4. Dπ
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: π – 180° to połowa pełnego kąta 2π rad, czyli π rad.
Okres obrotu wynosi 2 s. Ile wynosi prędkość kątowa?
1. A0,5 rad/s
2. B2π rad/s
3. C4π rad/s
4. Dπ rad/s
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: π rad/s – ω = 2π : T = 2π : 2 s = π rad/s.
Tarcza ma ω = 4 rad/s. Jaką szybkość ma punkt oddalony o 0,5 m od osi?
1. A2 m/s
2. B8 m/s
3. C4 m/s
4. D0,125 m/s
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2 m/s – v = ω · r = 4 rad/s · 0,5 m = 2 m/s.
Ile wynosi a_d punktu na tarczy w odległości r = 2 m od osi przy ω = 3 rad/s?
1. A6 m/s²
2. B12 m/s²
3. C4,5 m/s²
4. D18 m/s²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 18 m/s² – a_d = ω² · r = 9 · 2 m/s² = 18 m/s²; 6 m/s² to ω · r, czyli szybkość w m/s.
Dwa punkty sztywnej tarczy leżą w różnych odległościach od osi. Co mają takie samo?
1. Adrogę w jednym obrocie
2. Bszybkość liniową
3. Cprzyspieszenie dośrodkowe
4. Dprędkość kątową
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: prędkość kątową – Obracają się o ten sam kąt w tym samym czasie, a szybkość liniowa rośnie z odległością od osi.
Prędkość kątowa wzrosła o 6 rad/s w czasie 3 s. Ile wynosi ε?
1. A2 rad/s²
2. B2 rad/s
3. C0,5 rad/s²
4. D18 rad/s²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2 rad/s² – ε = Δω : Δt = 6 rad/s : 3 s = 2 rad/s².
Punkt na brzegu tarczy (r = 0,5 m) ma w pewnej chwili ω = 2 rad/s i ε = 2 rad/s². Ile wynosi jego przyspieszenie?
1. A1 m/s²
2. B2 m/s²
3. Cok. 2,2 m/s²
4. D3 m/s²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: ok. 2,2 m/s² – a_s = ε · r = 1 m/s², a_d = ω² · r = 2 m/s², więc a = pierwiastek z 1 + 4 m/s² ≈ 2,2 m/s²; 3 m/s² to błędne dodanie składowych.
Łuk o długości l = 3 m leży na okręgu o r = 1,5 m. Jakiemu kątowi środkowemu odpowiada?
1. A0,5 rad
2. B4,5 rad
3. C3 rad
4. D2 rad
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 2 rad – φ = l : r = 3 m : 1,5 m = 2 rad.

Cały dział „Kinematyka”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytań Fiszki · 10 🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Fizyka, klasa 1

Badania w fizyce Pomiary i niepewność pomiarowa Niepewności pomiarowe i dopasowanie prostej Wielkości wektorowe i skalarne Analiza danych i wykresy Narzędzia matematyczne w fizyce Rachunek wektorowy i trygonometria Podstawowe pojęcia kinematyki Prędkość Równanie ruchu i ruch względny Przyspieszenie Ruch jednostajny prostoliniowy Ruch prostoliniowy zmienny Ruch zmienny – wykresy a(t), zadania i przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym Ruch po okręgu Rzut poziomy i rzut ukośny Doświadczenia z kinematyki Siła i jej cechy Rodzaje sił Układy nieinercjalne i siły bezwładności Zasady dynamiki Newtona Tarcie Równia pochyła i zadania z tarciem Siła dośrodkowa Dynamika ruchu po okręgu Doświadczenia z dynamiki Praca mechaniczna Moc Energia mechaniczna i jej zasada zachowania Praca siły zmiennej, twierdzenie o pracy i energii Moc w ruchu i sprawność urządzeń Pęd, zasada zachowania pędu i zderzenia Doświadczenia: praca, moc, energia Ciśnienie Siła wyporu i prawo Archimedesa Ciśnienie całkowite, naczynia połączone i pływanie ciał Doświadczenia z hydrostatyki Prawo powszechnego ciążenia Przyspieszenie grawitacyjne i prawa Keplera Układ Słoneczny, Galaktyka i Wszechświat Prędkości kosmiczne i ruch satelitów Satelity, nieważkość i przeciążenie Bryła sztywna i moment siły Moment bezwładności i dynamika ruchu obrotowego Energia kinetyczna ruchu obrotowego Planowanie doświadczeń Przeprowadzanie pomiarów Analiza wyników Wybrane doświadczenia w klasie 1 Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego wahadłem