1Przyspieszenie grawitacyjne
- Oznaczenia: g – przyspieszenie grawitacyjne [m/s²]; G – stała grawitacji [N·m²/kg²]; M – masa planety [kg]; r – odległość od środka planety [m]; R – promień planety [m].
g = G · M przez r2, a na powierzchni planety g = G · M przez R2 (z m · g = G · M · m przez r2 po skróceniu m).
- Przykład 1. Dane: Księżyc, M = 7,35·1022 kg, R = 1,74·106 m, G = 6,67·10−11 N·m²/kg². Wzór: g = G · M przez R2. Obliczenia: g = 6,67·10−11 · 7,35·1022 przez (1,74·106)2 m/s² ≈ 1,6 m/s². Odpowiedź: g ≈ 1,6 m/s², ok. 1/6 ziemskiego.
- Dla h = R nad Ziemią r = 2R, więc g maleje 4 razy (do ok. 2,45 m/s²).
- Dodatkowo: natężenie pola grawitacyjnego γ = F przez m [N/kg] (F – siła grawitacji działająca na ciało o masie m) jest liczbowo równe g.
2Prawa Keplera
- I prawo: planeta krąży po elipsie, a Słońce jest w jednym z jej ognisk.
- II prawo: promień wodzący planety zakreśla równe pola w równych czasach. Planeta jest najszybsza w peryhelium (najbliżej Słońca), a najwolniejsza w aphelium. To skutek zasady zachowania momentu pędu: w tych punktach v · r = const (v – szybkość, r – odległość od Słońca).
III prawo: T2 przez a3 = const dla ciał krążących wokół tego samego ciała centralnego (T – okres obiegu [s lub lata]; a – półoś wielka orbity [m lub au]).
- Dla orbity kołowej o promieniu r: T2 przez r3 = 4π2 przez G · M.
- Przykład 2. Dane: Mars a = 1,52 au (Ziemia: 1 au, 1 rok). Wzór: T = pierwiastek z a3 (T w latach, a w au). Obliczenia: T = pierwiastek z 1,523 ≈ pierwiastek z 3,51 ≈ 1,87. Odpowiedź: rok marsjański trwa ok. 1,87 roku ziemskiego.
Co mówi II prawo Keplera?
Dlatego planeta porusza się szybciej blisko Słońca (w peryhelium).
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Masa Ziemi z ruchu Księżyca
- Z III prawa: M = 4π2 · r3 przez G · T2 (M – masa ciała centralnego [kg]; r – promień orbity [m]; T – okres [s]).
- Przykład 3. Dane: Księżyc r = 3,84·108 m, T = 27,3 doby = 2,36·106 s. Obliczenia: M = 4π2 · (3,84·108)3 przez 6,67·10−11 · (2,36·106)2 kg ≈ 6,0·1024 kg. Odpowiedź: masa Ziemi ≈ 6,0·1024 kg.
Porównywanie III prawem orbit wokół różnych ciał centralnych (np. Księżyca i Marsa): stała T²/a³ zależy od ich masy.
✎Ściąga: Przyspieszenie grawitacyjne i prawa Keplera
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- g = G · M przez r2, a na powierzchni planety g = G · M przez R2 (z m · g = G · M · m przez r2 po skróceniu m).
- III prawo: T2 przez a3 = const dla ciał krążących wokół tego samego ciała centralnego (T – okres obiegu [s lub lata]; a – półoś wielka orbity [m lub au]).
- Oznaczenia: g – przyspieszenie grawitacyjne [m/s²]; G – stała grawitacji [N·m²/kg²]; M – masa planety [kg]; r – odległość od środka planety [m]; R – promień planety [m].
- Przykład 1. Dane: Księżyc, M = 7,35·1022 kg, R = 1,74·106 m, G = 6,67·10−11 N·m²/kg². Wzór: g = G · M przez R2. Obliczenia: g = 6,67·10−11 · 7,35·1022 przez (1,74·106)2 m/s² ≈ 1,6 m/s². Odpowiedź: g ≈ 1,6 m/s², ok. 1/6 ziemskiego.
- Dodatkowo: natężenie pola grawitacyjnego γ = F przez m [N/kg] (F – siła grawitacji działająca na ciało o masie m) jest liczbowo równe g.
- I prawo: planeta krąży po elipsie, a Słońce jest w jednym z jej ognisk.
- II prawo: promień wodzący planety zakreśla równe pola w równych czasach. Planeta jest najszybsza w peryhelium (najbliżej Słońca), a najwolniejsza w aphelium. To skutek zasady zachowania momentu pędu: w tych punktach v · r = const (v – szybkość, r – odległość od Słońca).
- Przykład 2. Dane: Mars a = 1,52 au (Ziemia: 1 au, 1 rok). Wzór: T = pierwiastek z a3 (T w latach, a w au). Obliczenia: T = pierwiastek z 1,523 ≈ pierwiastek z 3,51 ≈ 1,87. Odpowiedź: rok marsjański trwa ok. 1,87 roku ziemskiego.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Wzór na przyspieszenie grawitacyjne w odległości r od środka planety o masie M to
- Ag = M / (G·r²)
- Bg = G·M / r²
- Cg = G·M·r²
- Dg = G·M / r
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: g = G·M / r² – Z m·g = G·M·m/r² po skróceniu masy wychodzi g = GM/r².
Jak zmieni się g na wysokości równej promieniowi Ziemi?
- AZmaleje 4 razy
- BNie zmieni się
- CZmaleje 2 razy
- DZmaleje 9 razy
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: Zmaleje 4 razy – r = 2R, więc g ~ 1/r² maleje 4 razy.
Księżyc ma masę 7,35·10²² kg i promień 1,74·10⁶ m. Jakie jest g na jego powierzchni?
- Aok. 1,6 m/s²
- Bok. 16 m/s²
- Cok. 0,16 m/s²
- Dok. 9,8 m/s²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: ok. 1,6 m/s² – g = GM/R² = 6,67·10⁻¹¹ · 7,35·10²² / (1,74·10⁶)² m/s² ≈ 1,6 m/s².
Planeta ma 2 razy większą masę i 2 razy większy promień niż Ziemia. Jakie jest g na jej powierzchni w porównaniu z ziemskim?
- A4 razy mniejsze
- B2 razy mniejsze
- C2 razy większe
- Dtakie samo
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 2 razy mniejsze – g ~ M/R², więc 2/2² = ½ wartości ziemskiej.
Co mówi II prawo Keplera?
- APlaneta porusza się ze stałą szybkością
- BOkres obiegu jest taki sam dla wszystkich planet
- CPlaneta krąży po okręgu
- DPromień wodzący zakreśla równe pola w równych czasach
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: Promień wodzący zakreśla równe pola w równych czasach – Dlatego planeta porusza się szybciej blisko Słońca (w peryhelium).
Którą zasadę zachowania wyraża II prawo Keplera?
- AZasadę zachowania masy
- BZasadę zachowania ładunku
- CZasadę zachowania momentu pędu
- DZasadę zachowania pędu
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: Zasadę zachowania momentu pędu – Siła grawitacji jest skierowana do Słońca, nie daje momentu siły, więc moment pędu planety jest stały (w peryhelium i aphelium m·v·r = const).
Planeta ma półoś wielką orbity 4 au. Ile wynosi jej okres obiegu wokół Słońca?
- A8 lat
- B64 lata
- C4 lata
- D16 lat
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 8 lat – T² = a³ (lata i au), więc T = √64 = 8 lat.
Jak z ruchu Księżyca wyznaczyć masę Ziemi?
- AM = 4π²r² / (G·T)
- BM = G·r²
- CM = 4π²r³ / (G·T²)
- DM = G·T² / (4π²r³)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: M = 4π²r³ / (G·T²) – Z III prawa Keplera dla orbity kołowej T²/r³ = 4π²/(GM).
Cały dział „Grawitacja i elementy astronomii”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.